Fiche de révision : Statistiques descriptives univariées

📋 Plan du Cours

1. Opérateurs de somme et de produit
2. Calculs sur les puissances
3. Pourcentages et taux de croissance
4. Évolutions successives et variables liées
5. Croissance globale et moyenne

📖 1. Opérateurs de somme et de produit

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme : La somme $\sum_{i=1}^{n} x_i$ est l’addition des termes $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
• Produit : Le produit $\prod_{i=1}^{n}x_i$ est la multiplication des termes $x_1,x_2,\ldots,x_n$.

★ À maîtriser

📌 Pour une constante $a$, $\sum_{i=1}^{n} ax_i = a\sum_{i=1}^{n}x_i$.

Compléments

• Si $x_i=y_i+z_i+w_i$ pour tout $i$, alors $\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i+\sum_{i=1}^{n}z_i+\sum_{i=1}^{n}w_i$.

• Pour $1<b<n$, la somme peut être scindée ainsi : $\sum_{i=1}^{b}x_i+\sum_{i=b+1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}x_i$.

• Pour une constante $a$, $\prod_{i=1}^{n}(ax_i)=a^n\prod_{i=1}^{n}x_i$ ; si $x_i=y_i z_i$ pour tout $i$, alors $\prod_{i=1}^{n}x_i=(\prod_{i=1}^{n}y_i)(\prod_{i=1}^{n}z_i)$.

💡 Astuce mémo

La somme se distribue terme à terme ; le produit transforme un facteur constant en puissance.

📖 2. Calculs sur les puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Les règles particulières comprennent $a^0=1$, $a^{1/2}=\sqrt{a}$, $a^{1/3}=\sqrt[3]{a}$ et $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$.

📐 Formule - Pour les puissances, $(a^m)^n=a^{mn}$ et $(abc)^m=a^m b^m c^m$.

• Une puissance $x^n$ représente la multiplication de $x$ par lui-même $n$ fois, et l’exposant peut être un entier positif ou négatif, ou un nombre fractionnaire.

Compléments

📐 Formule - Les produits et quotients de puissances de même base vérifient $a^m a^n a^p=a^{m+n+p}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

📐 Formule - La puissance d’un quotient vérifie $\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$.

📖 3. Pourcentages et taux de croissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage signifie une division par 100 ; par exemple, $10\%=\frac{10}{100}=0{,}1$.
• Taux de croissance : Le taux de croissance entre une valeur initiale $V_0$ et une valeur finale $V_t$ est $\frac{V_t}{V_0}-1$ ; multiplié par 100, il s’exprime en pourcentage.
• Multiplicateur : Le multiplicateur est le rapport $\frac{V_t}{V_0}$ et il est égal à un plus le taux de croissance.

★ À maîtriser

• Un pourcentage peut décrire une proportion ou une évolution dans le temps.

📌 Une croissance correspond à un taux de croissance positif, tandis qu’une diminution correspond à un taux de croissance négatif.

Compléments

• Quand une variable passe de 1000 à 1500, sa variation absolue est 500, son taux de croissance est 0,5, soit 50 %, et son multiplicateur est 1,5.

💡 Astuce mémo

Le taux mesure la variation ; le multiplicateur mesure le rapport des niveaux.

📖 4. Évolutions successives et variables liées

★ À maîtriser

📌 Si $c=ab$ et si $a$ et $b$ croissent respectivement aux taux $i$ et $j$, le taux de croissance de $c$ est $(1+i)(1+j)-1$.

📌 Si $c=\frac{a}{b}$ et si $a$ et $b$ croissent respectivement aux taux $i$ et $j$, le taux de croissance de $c$ est $\frac{1+i}{1+j}-1$.

• Pour calculer le taux global de plusieurs changements successifs, on multiplie leurs multiplicateurs puis on soustrait 1.

Compléments

• Deux hausses successives de 10 % et de 15 % produisent un taux global de $1{,}1\times1{,}15-1=0{,}265$, soit 26,5 %.

• Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % produit un taux global de $1{,}1\times0{,}9-1=-0{,}01$, soit une baisse de 1 %.

• Une hausse de 25 % du volume des ventes et de 30 % des prix entraîne une hausse du chiffre d’affaires de 62,5 %.

📖 5. Croissance globale et moyenne

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de croissance annuel moyen : Pour une variable qui passe de $V_0$ à $V_t$ en $n$ périodes, le taux de croissance moyen par période est $\left(\frac{V_t}{V_0}\right)^{1/n}-1$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une hausse périodique constante de taux $i$ pendant $n$ périodes fait évoluer la valeur selon $V_t=V_0(1+i)^n$.

Compléments

📐 Formule - Après une hausse de taux $i$ pendant 3 périodes puis une hausse de taux $j$ pendant 5 périodes, la valeur finale est $V_t=V_0(1+i)^3(1+j)^5$.

• Le nombre de périodes $n$ peut désigner des années, des mois, des semaines ou d’autres périodes selon le cas.