Analyse des limites et convergence des suites

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Limite vers +∞
3. Limite vers −∞
4. Limite finie d’une suite
5. Théorème des gendarmes
6. Opérations sur limites
7. Formes indéterminées
8. Calculs de limites
9. Suites convergentes
10. Suites divergentes

📖 1. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : méthode permettant de prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers naturels n en vérifiant initialisation et hérédité.
• Initialisation : étape où l’on vérifie que P(n0) est vraie pour un certain n0 (souvent n0=0 ou 1).
• Hérédité : étape où l’on montre que si P(n) est vraie, alors P(n+1) l’est aussi.
• Suite définie par récurrence : suite dont chaque terme est défini à partir des termes précédents selon une relation donnée.
• Propriété dépendant de n : assertion ou formule vérifiée pour tout n dans N.
• Théorème de récurrence : si P(n0) est vraie et que P(n) implique P(n+1), alors P(n) est vraie pour tout n ≥ n0.

📝 Points essentiels

• La méthode de récurrence sert à établir la validité d’une propriété pour une infinité d’entiers.
• La vérification de l’initialisation et de l’hérédité est indispensable pour appliquer le théorème.
• La récurrence peut s’appliquer à des suites pour démontrer des formules explicites ou des inégalités.
• La preuve par récurrence est souvent illustrée par des suites arithmétiques ou géométriques, ou des sommes.

💡 À retenir