★ À maîtriser
📐 Formule — La congruence modulo n vérifie .
📌 Si a est congru à b modulo n et c est congru à d modulo n, alors a+c est congru à b+d modulo n, a×c est congru à b×d modulo n et, pour tout k naturel, a^k est congru à b^k modulo n.
Compléments
📌 Tout entier a est congru à son reste r dans la division euclidienne par n, avec .
Division : quotient et reste ; congruence : même reste ou différence divisible
1. Dans la division euclidienne de 37 par 5, quelles sont les valeurs du quotient et du reste ?
2. Qu'est-ce que la division euclidienne d'un entier a par un entier b ?
3. Quelle condition caractérise l'équivalence de deux entiers a et b modulo n, avec n supérieur ou égal à 2 ?
Qu'impose la division euclidienne de a par b ?
Elle associe des entiers q et r tels qu'a = bq + r et 0 ≤ r < b.
Division euclidienne
Associe quotient et reste unique à a=bq+r.
Que signifie a ≡ b (mod n) en termes de divisibilité ?
Cela signifie que n divise a − b.
Congruence modulo n
a et b ont même reste mod n.
Comment s'écrit un entier N en base b avec 2 ≤ b ≤ 10 ?
N s'écrit de façon unique comme somme de a_i b^i avec chiffres a_i.
Formule de congruence
a ≡ b (mod n) ⇔ n| (a-b).
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