Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Multiples et diviseurs
2. Critères de divisibilité
3. Nombres premiers
4. Facteurs premiers et décompositions
5. PGCD et PPCM
6. Fractions irréductibles

📖 1. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un entier a est un multiple d’un entier b non nul lorsque la division euclidienne de a par b a un reste nul ; b est alors un diviseur de a et a est divisible par b.

📝 Points essentiels

• 0 est un multiple de tout nombre entier.

• Comme 48 = 4 × 12, 48 est un multiple de 4 et de 12, qui sont ses diviseurs.

💡 Astuce mémo

Multiple : le nombre obtenu ; diviseur : le nombre qui le partage.

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 si ce chiffre est 0 ou 5, et par 10 si ce chiffre est 0.

• Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

• Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et divisible par 9 si cette somme est divisible par 9.

Compléments

• 132 est divisible par 4 parce que ses deux derniers chiffres, 32, sont divisibles par 4.

• 2160 est divisible par 3 et par 9 parce que la somme de ses chiffres vaut 9, divisible par 3 et par 9.

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Les nombres premiers inférieurs à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

• 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même.

• 0 n’est pas premier, car il est divisible par tout entier non nul.

📖 4. Facteurs premiers et décompositions

★ À maîtriser

📌 Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Compléments

• La décomposition de 84 en facteurs premiers est 84 = 2 × 2 × 3 × 7.

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on peut chercher ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant ou écrire d’abord un produit quelconque égal à cet entier, puis décomposer ses facteurs.

📖 5. PGCD et PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun ; on le détermine en recherchant leurs facteurs communs.
• PPCM : Le PPCM de deux entiers est leur plus petit multiple commun.

📝 Points essentiels

• Les décompositions utilisées sont 84 = 2² × 3 × 7 et 350 = 2 × 5² × 7.

• Pour déterminer le PPCM à partir des décompositions en facteurs premiers, on peut multiplier chaque nombre par les facteurs qui lui manquent pour obtenir le même produit de facteurs premiers.

💡 Astuce mémo

PGCD : facteurs communs ; PPCM : facteurs nécessaires aux deux multiples.

📖 6. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

📝 Points essentiels

• Pour rendre 84/30 irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis on simplifie les facteurs communs pour obtenir 14/5.