Fiche de révision : Cinématique du point

📋 Plan du Cours

1. Calcul de l’accélération par différences
2. Coordonnées et dérivées cinématiques
3. Détermination graphique des dérivées
4. Accélération des mouvements circulaires
5. Modélisation d’une accélération croissante
6. Mouvements rectilignes et circulaires
7. Caractéristiques de l’accélération rectiligne
8. Exploitation d’un mouvement filmé
9. Construction du vecteur accélération
10. Construction du vecteur vitesse
11. Vecteurs position vitesse accélération

📖 1. Calcul de l’accélération par différences

★ À maîtriser

📐 Formule - L’accélération moyenne s’obtient par $\vec a=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}$.

Compléments

📐 Formule - Pour estimer l’accélération au point 6 à partir des vitesses aux points 5 et 7 séparés par deux intervalles de durée τ, on utilise $\vec a_6=\frac{\vec v_7-\vec v_5}{2\tau}$.

📖 2. Coordonnées et dérivées cinématiques

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse est la dérivée du vecteur position et ses coordonnées sont $v_x=\frac{dx}{dt}$ et $v_y=\frac{dy}{dt}$.

📐 Formule - Les coordonnées de l’accélération sont les dérivées des composantes de la vitesse : $a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$ et $a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}$.

📌 Si le vecteur vitesse est constant, le vecteur accélération est nul.

Compléments

📐 Formule - Dans un mouvement plan, la norme de la vitesse est $\|\vec v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.

📐 Formule - Dans un mouvement plan, la norme de l’accélération est $\|\vec a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$.

📐 Formule - Pour une puissance de t, la dérivée vérifie $\frac{d(t^m)}{dt}=m t^{m-1}$.

📖 3. Détermination graphique des dérivées

★ À maîtriser

• La vitesse instantanée sur un graphique position-temps est le coefficient directeur de la tangente à la courbe position-temps.

• L’accélération instantanée est le coefficient directeur de la tangente à la courbe vitesse-temps.

Compléments

📐 Formule - Le coefficient directeur entre deux points A et B d’une courbe vaut $\frac{y_B-y_A}{t_B-t_A}$.

📖 4. Accélération des mouvements circulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération normale : L’accélération normale vaut $a_n=\frac{v^2}{R}$ et est dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire.
• Accélération tangentielle : L’accélération tangentielle vaut $a_t=\frac{dv}{dt}$ et traduit la variation de la vitesse.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le repère de Frenet, l’accélération d’un mouvement circulaire s’écrit $\vec a=\frac{v^2}{R}\vec u_n+\frac{dv}{dt}\vec u_t$.

📌 Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante et l’accélération tangentielle est nulle ; dans un mouvement circulaire varié, la vitesse varie et l’accélération tangentielle est non nulle.

Compléments

• Dans l’étude de la cabine, l’accélération calculée après son lancement est d’environ 36 m·s⁻², soit environ 4g.

• Les coordonnées des vitesses et accélérations peuvent être estimées par différences centrées à partir des positions et vitesses successives.

💡 Astuce mémo

En circulaire uniforme, seule l’accélération normale subsiste ; en circulaire varié, la composante tangentielle s’ajoute.

📖 5. Modélisation d’une accélération croissante

★ À maîtriser

📌 Si l’accélération est proportionnelle au temps, elle augmente linéairement avec le temps.

📐 Formule - Dans ce modèle, la vitesse et la position vérifient $v_x(t)=a_x t$, $v_y(t)=0$, $x(t)=\frac12a_x t^2$ et $y(t)=0$.

Compléments

📐 Formule - Dans le modèle de la clothoïde, les composantes d’accélération sont $a_x=4{,}92\ \mathrm{m.s^{-2}}$ et $a_y=0\ \mathrm{m.s^{-2}}$.

• Avec le modèle de la clothoïde, la position calculée à t = 0,3 s est 0,22 m, tandis que la lecture graphique donne 0,08 m.

• La pente de la courbe vitesse-temps donne une accélération graphique de 4,75 m·s⁻², à comparer à la valeur modélisée de 4,92 m·s⁻².

💡 Astuce mémo

Accélération proportionnelle au temps → augmentation linéaire de l’accélération.

📖 6. Mouvements rectilignes et circulaires

★ À maîtriser

📌 Dans un mouvement rectiligne uniforme, l’accélération est nulle ; dans un mouvement rectiligne uniformément varié, elle est constante et portée par la droite support de la trajectoire.

📌 Dans un mouvement rectiligne accéléré, l’accélération a le même sens que la vitesse ; dans un mouvement rectiligne ralenti, elle est de sens opposé à la vitesse.

• Dans un mouvement circulaire, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Compléments

📌 En mouvement circulaire uniforme, l’accélération est perpendiculaire à la trajectoire, dirigée vers le centre et de norme constante ; en mouvement circulaire varié, elle n’est généralement pas perpendiculaire à la trajectoire et sa norme varie.

📖 7. Caractéristiques de l’accélération rectiligne

📝 Points essentiels

• Dans un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur accélération est nul.

📌 Dans un mouvement rectiligne accéléré, le vecteur accélération est dirigé dans le sens du mouvement, tandis que dans un mouvement rectiligne ralenti, il est dirigé dans le sens opposé.

💡 Astuce mémo

Accélération : même sens pour accélérer, sens opposé pour ralentir

📖 8. Exploitation d’un mouvement filmé

★ À maîtriser

• Pour le mouvement filmé de la bille, la norme de l’accélération est repérée comme non nulle entre 0,26 et 0,34 s.

Compléments

📐 Formule - La vitesse selon x est estimée par la différence centrée $v_x(t_i)=\frac{x_{i+1}-x_{i-1}}{t_{i+1}-t_{i-1}}$.

📐 Formule - La norme de la vitesse se calcule par $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.

📐 Formule - La norme de l’accélération se calcule à partir de ses composantes par $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$.

📖 9. Construction du vecteur accélération

★ À maîtriser

• Pour construire le vecteur accélération au point M6, on combine les vecteurs vitesse des points voisins M5 et M7, puis on utilise leur différence centrée.

Compléments

📐 Formule - Au point M6, le vecteur accélération est estimé par $\vec a_6=\frac{\vec v_7-\vec v_5}{2\tau}$.

• Pour le mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération au point A12 peut être tracé sans calcul supplémentaire.

📖 10. Construction du vecteur vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur vitesse : Tangent à sa trajectoire, orienté dans le sens du mouvement et de norme égale à la vitesse instantanée.

📝 Points essentiels

• La vitesse instantanée au point M3 est estimée à partir des positions M2 et M4 séparées par deux intervalles de durée τ.

📐 Formule - La vitesse instantanée au point M3 est estimée par $v_3\approx\frac{M_2M_4}{2\tau}$.

• Avec M2M4 = 7,5 cm et τ = 50 ms, la vitesse en M3 vaut environ 0,75 m·s⁻¹.

📖 11. Vecteurs position vitesse accélération

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère cartésien, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j$.

📐 Formule - Le vecteur vitesse est la dérivée temporelle du vecteur position : $\vec v(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec i+\frac{dy}{dt}\vec j$.

📐 Formule - Le vecteur accélération est la dérivée temporelle du vecteur vitesse : $\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}$.

• Le vecteur accélération est nul uniquement si le mouvement est rectiligne uniforme, car le vecteur vitesse conserve alors sa norme, sa direction et son sens.

Compléments

📐 Formule - Les composantes cartésiennes de la vitesse sont $v_x=\frac{dx}{dt}$ et $v_y=\frac{dy}{dt}$.

📐 Formule - La norme du vecteur vitesse est $\|\vec v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.

📐 Formule - Les composantes cartésiennes de l’accélération sont $a_x=\frac{dv_x}{dt}$ et $a_y=\frac{dv_y}{dt}$.

• Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse varie parce que sa direction change, même si sa norme reste constante.

💡 Astuce mémo

Position → dérivation → vitesse → dérivation → accélération