Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Multiples et critères de divisibilité
3. Diviseurs communs et PGCD
4. Nombres premiers
5. Décomposition en facteurs premiers
6. Simplification des fractions

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Division d’un entier a par un entier b non nul consistant à trouver un quotient entier q et un reste entier r tels que $a=b\times q+r$ avec $r<b$.

★ À maîtriser

📌 Un entier a est divisible par un entier b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, ce qui s’écrit $a=b\times q$.

Compléments

• Dans la division euclidienne de 142 par 9, le quotient est 15, le reste est 7 et l’égalité est $142=9\times15+7$.

💡 Astuce mémo

D = d × q + r

📖 2. Multiples et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors a est un multiple de b, b est un diviseur de a et a est divisible par b.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, et il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

📌 Un entier est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement un multiple de 3 ou un multiple de 9.

Compléments

📌 Un entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, et il est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.

📖 3. Diviseurs communs et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur commun : Nombre qui divise simultanément deux entiers.
• Plus grand diviseur commun : Plus grand des diviseurs communs de deux entiers.
• Multiple commun : Nombre qui est simultanément un multiple de deux entiers.

📝 Points essentiels

• Les diviseurs communs de 24 et 36 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, donc leur plus grand diviseur commun est 12.

• Deux bus partant ensemble à 8 h, l’un toutes les 12 minutes et l’autre toutes les 15 minutes, repartent ensemble pour la première fois 60 minutes plus tard, à 9 h 00.

💡 Astuce mémo

Diviser plusieurs nombres → rechercher leurs diviseurs communs → trouver le PGCD

📖 4. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier positif possédant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• 0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs, et 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur.

• 2 est le seul nombre premier pair.

• Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

💡 Astuce mémo

Premier : exactement deux diviseurs ; composé : au moins un diviseur supplémentaire

📖 5. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

📌 Tout entier supérieur ou égal à 2 qui n’est pas premier se décompose de façon unique en un produit de facteurs premiers.

• Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on teste successivement sa divisibilité par 2, puis par 3, 5, 7, 11 et les nombres premiers suivants, en divisant à chaque fois lorsque le reste est nul et en recommençant avec le quotient jusqu’à obtenir 1.

Compléments

• La décomposition de 84 en facteurs premiers est $84=2\times2\times3\times7=2^2\times3\times7$.

💡 Astuce mémo

Tester 2, puis 3, puis 5, puis 7 et poursuivre jusqu’à obtenir 1

📖 6. Simplification des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

📌 On peut simplifier une fraction en supprimant un facteur commun du numérateur et du dénominateur uniquement lorsqu’ils sont écrits sous forme de produits : $\frac{a\times k}{b\times k}=\frac{a}{b}$.

📌 Il est interdit de simplifier séparément les termes d’une addition ou d’une soustraction au numérateur ou au dénominateur.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 84 et 126 est $84=2^2\times3\times7$ et $126=2\times3^2\times7$, ce qui permet de simplifier la fraction $\frac{84}{126}$.

💡 Astuce mémo

Facteurs multipliés : simplification autorisée ; termes additionnés ou soustraits : simplification interdite