Fiche de révision : Arithmétique et fractions

📋 Plan du Cours

1. Multiples diviseurs et divisibilité
2. Division euclidienne
3. Nombres premiers
4. Fractions irréductibles
5. Opérations sur les fractions
6. PGCD et PPCM

📖 1. Multiples diviseurs et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Un entier a est un multiple d’un entier b non nul, ou b est un diviseur de a, lorsqu’il existe un entier k tel que a = b × k.
• Nombres pairs et impairs : Entier qui s’écrit 2k avec k entier dans le cas pair, ou 2k + 1 avec k entier dans le cas impair.

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ; et par 10 si son chiffre des unités est 0.

📌 Un nombre est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement un multiple de 3 ou de 9, et il est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Compléments

📌 La somme de deux multiples d’un même entier a est un multiple de a, le carré d’un nombre pair est pair et le carré d’un nombre impair est impair.

💡 Astuce mémo

Multiple : on part du diviseur pour obtenir le nombre ; diviseur : on cherche ce qui partage le nombre.

📖 2. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne d’un entier a par un entier b non nul consiste à trouver des entiers q et r tels que a = b × q + r avec 0 ≤ r < b.

★ À maîtriser

📌 Le reste d’une division euclidienne est nul si et seulement si le dividende est un multiple du diviseur.

Compléments

• La division euclidienne de 47 par 6 s’écrit 47 = 6 × 7 + 5, avec un quotient égal à 7 et un reste égal à 5.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste inférieur au diviseur.

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier possédant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Tout entier supérieur à 1 qui n’est pas premier s’écrit de manière unique, à l’ordre des facteurs près, comme un produit de nombres premiers.

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on le divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles jusqu’à obtenir 1.

Compléments

• Les quinze premiers nombres premiers à connaître sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.

• La décomposition de 360 en facteurs premiers est $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.

💡 Astuce mémo

Tester, diviser, puis multiplier les facteurs premiers.

📖 4. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction a/b, avec a et b entiers et b non nul, est irréductible lorsque a et b n’ont aucun diviseur commun autre que 1, c’est-à-dire lorsque PGCD(a ; b) = 1.

★ À maîtriser

• Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

Compléments

• La fraction 36/24 devient 3/2 après division du numérateur et du dénominateur par leur PGCD égal à 12.

💡 Astuce mémo

PGCD du numérateur et du dénominateur égal à 1 → fraction irréductible.

📖 5. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux fractions de même dénominateur, $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$.

• Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on les réduit d’abord au même dénominateur, en général le PPCM des dénominateurs, puis on additionne ou soustrait les numérateurs.

📐 Formule — La multiplication de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$, et la simplification peut être effectuée avant ou après la multiplication.

📐 Formule — Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$ avec c non nul.

Compléments

• Prendre les 3/5 d’une quantité de 40 élèves revient à calculer 3/5 × 40, ce qui donne 24 élèves.

💡 Astuce mémo

Additionner impose un dénominateur commun, tandis que multiplier agit directement sur numérateurs et dénominateurs.

📖 6. PGCD et PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand de tous les diviseurs communs à deux entiers a et b.
• PPCM : Plus petit des multiples communs non nuls de deux entiers a et b.

★ À maîtriser

• Dans l’algorithme d’Euclide, on remplace successivement PGCD(a ; b) par PGCD(b ; r), où r est le reste de la division euclidienne, jusqu’à obtenir un reste nul ; le PGCD est alors le dernier reste non nul.

📌 Le PGCD sert à rendre une fraction irréductible et à résoudre des problèmes de partage en parts égales, tandis que le PPCM sert à résoudre des problèmes de répétition périodique ou de coïncidence de cycles.

Compléments

• Pour 32 = 2^5 et 24 = 2^3 × 3, on obtient PGCD(32 ; 24) = 2^3 = 8 et PPCM(32 ; 24) = 96.

💡 Astuce mémo

PGCD pour partager ou simplifier ; PPCM pour faire coïncider des cycles.

📊 Tableaux de synthèse

PGCD ou PPCM