Fiche de révision : Continuité et dérivabilité

📋 Plan du Cours

1. Continuité en un point
2. Continuité sur un intervalle
3. Propriétés et théorèmes fondamentaux
4. Dérivabilité et tangente
5. Interprétation cinématique
6. Calcul des dérivées

📖 1. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité à gauche : Si x₀ appartient au domaine de définition de f et si la limite de f(x) lorsque x tend vers x₀ par la gauche vaut f(x₀).

💡 Astuce mémo

À gauche et à droite doivent donner la même valeur f(x₀).

📖 2. Continuité sur un intervalle

📝 Points essentiels

📌 Une fonction est continue en x₀ si et seulement si elle est continue à gauche et continue à droite en x₀.

📌 Une fonction est continue sur [a,b] si elle est continue en tout point de [a,b], continue à droite en a et continue à gauche en b.

💡 Astuce mémo

Domaine → limites aux bornes → continuité sur l’intervalle.

📖 3. Propriétés et théorèmes fondamentaux

★ À maîtriser

• Si f est continue sur [a,b], alors elle atteint un maximum M et un minimum m dans [a,b].

• Si f est continue sur [a,b], elle prend au moins une fois chaque valeur comprise entre son minimum m et son maximum M.

• Si f est continue sur [a,b] et si $f(a)\times f(b)<0$, alors f s’annule au moins une fois entre a et b.

Compléments

📌 Si f et g sont continues en x₀, alors les fonctions obtenues à partir de f et g par les opérations étudiées sont continues en x₀.

• Pour résoudre $3^x=5x$, on pose $f(x)=3^x-5x$ ; comme f(0)=1>0 et f(1)=-2<0, f s’annule au moins une fois entre 0 et 1, donc l’équation possède au moins une solution dans ]0,1[.

💡 Astuce mémo

Continuité sur [a,b] → extrema atteints et valeurs intermédiaires prises.

📖 4. Dérivabilité et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : Si la limite $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ existe dans ℝ ; sa valeur est la dérivée f′(x₀).
• Dérivée : La pente, ou le coefficient directeur, de la tangente à la courbe de f au point (x₀,f(x₀)).
• Tangente : L’approximation linéaire de f(x) au voisinage du point considéré.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction est dérivable en x₀ si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en x₀ et si ses dérivées latérales sont égales.

💡 Astuce mémo

Dérivées à gauche et à droite égales → dérivabilité en x₀.

📖 5. Interprétation cinématique

📝 Points essentiels

• Pour un mobile dont la distance parcourue est e=f(t), la vitesse moyenne sur [t₀,t₀+Δt] est Δe/Δt, puis la vitesse instantanée en t₀ est la limite de ce quotient lorsque Δt tend vers 0, égale à f′(t₀).

💡 Astuce mémo

Distance parcourue → vitesse moyenne → vitesse instantanée.

📖 6. Calcul des dérivées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une constante C, $f(x)=C$ implique $f'(x)=0$ pour tout x.

📐 Formule — Pour la fonction identité, $f(x)=x$ implique $f'(x)=1$ pour tout x.

📐 Formule — Les dérivées usuelles vérifient $\left(\sin x\right)'=\cos x$, $\left(\cos x\right)'=-\sin x$, $\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2 x}$, $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$ et $\left(e^x\right)'=e^x$.

📐 Formule — La dérivée d’une somme vérifie $[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$.

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)$.

📐 Formule — La dérivée d’un quotient vérifie $\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$.

Compléments

📐 Formule — La dérivée de $x^{1/3}$ est $\frac{1}{3}x^{-2/3}$.

• Pour une constante k, $[k\,u(x)]'=k\,u'(x)$ ; par exemple, $[7x^2]'=14x$.

💡 Astuce mémo

Somme, produit, quotient : additionner, u′v+v′u, puis (u′v−v′u)/v².

📊 Tableaux de synthèse

Continuité et dérivabilité