QCM : Continuité et dérivabilité — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Parmi les conséquences de la continuité de ff sur [a,b][a,b], quelles propositions sont exactes ?

Toute valeur comprise entre mm et MM est prise par la fonction.
La propriété des valeurs intermédiaires concerne les valeurs comprises entre les extrema.
La fonction peut prendre une valeur intermédiaire sans être continue sur [a,b][a,b].
Une valeur située entre mm et MM peut être absente de l’image de la fonction.
Le minimum mm et le maximum MM sont atteints sur [a,b][a,b].

Toute valeur comprise entre $$m$$ et $$M$$ est prise par la fonction. · La propriété des valeurs intermédiaires concerne les valeurs comprises entre les extrema. · Le minimum $$m$$ et le maximum $$M$$ sont atteints sur $$[a,b]$$.

Explication

Une fonction continue sur un segment prend toutes les valeurs comprises entre son minimum et son maximum. Cette propriété est une conséquence de la continuité et concerne chaque valeur intermédiaire.

2. Pour les règles de dérivation des fonctions usuelles et des opérations, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

On a [tan⁡x]′=1cos⁡2x[\tan x]'=\frac{1}{\cos^2 x}.
On a [ln⁡x]′=1x[\ln x]'=\frac{1}{x}.
On a [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+v′(x)u(x)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+v'(x)u(x).
On a [uv]′=u′v−v′uv2\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-v'u}{v^2}.
On a [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−v′(x)u(x)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)-v'(x)u(x).

On a $$[\tan x]'=\frac{1}{\cos^2 x}$$. · On a $$[\ln x]'=\frac{1}{x}$$. · On a $$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)$$. · On a $$\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$$.

Explication

La règle du produit additionne les deux termes obtenus en dérivant successivement chaque facteur. La règle du quotient place u′v−v′uu'v-v'u au numérateur et v2v^2 au dénominateur, tandis que les dérivées usuelles de tan⁡x\tan x et ln⁡x\ln x sont celles indiquées.

3. Quelles sont les règles exactes pour dériver des expressions construites par somme, produit ou quotient ?

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées.
Le dénominateur de la dérivée d’un quotient est v2v^2.
La dérivée d’un produit contient deux produits croisés additionnés.
La dérivée d’un quotient a pour numérateur u′v−v′uu'v-v'u.
La dérivée d’un produit se réduit au produit des dérivées des facteurs.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées. · Le dénominateur de la dérivée d’un quotient est $$v^2$$. · La dérivée d’un produit contient deux produits croisés additionnés. · La dérivée d’un quotient a pour numérateur $$u'v-v'u$$.

Explication

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Pour un produit, on additionne les deux produits croisés, et pour un quotient on utilise u′v−v′uv2\frac{u'v-v'u}{v^2}.

4. Concernant quelques règles élémentaires de dérivation, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

On a [cos⁡x]′=sin⁡x[\cos x]'=\sin x.
Pour f(x)=xf(x)=x, on a f′(x)=1f'(x)=1 pour tout xx.
On a [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
On a [sin⁡x]′=cos⁡x[\sin x]'=\cos x.
Pour f(x)=Cf(x)=C, on a f′(x)=0f'(x)=0 pour tout xx.

Pour $$f(x)=x$$, on a $$f'(x)=1$$ pour tout $$x$$. · On a $$[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$$. · On a $$[\sin x]'=\cos x$$. · Pour $$f(x)=C$$, on a $$f'(x)=0$$ pour tout $$x$$.

Explication

Une fonction constante a une dérivée nulle, tandis que la fonction identité a une dérivée égale à 11. Les formules proposées pour le sinus, le cosinus et la somme sont les règles usuelles correspondantes.

5. Les propriétés liées à la dérivabilité et à la tangente comprennent :

La dérivabilité équivaut à l’existence de deux dérivées latérales égales.
La tangente fournit une approximation linéaire au voisinage du point étudié.
La pente de la tangente vaut la dérivée au point considéré.
La dérivabilité équivaut à l’existence de dérivées latérales distinctes au point étudié.
L’égalité des dérivées latérales suffit lorsque chacune existe dans R\mathbb{R}.

La dérivabilité équivaut à l’existence de deux dérivées latérales égales. · La tangente fournit une approximation linéaire au voisinage du point étudié. · La pente de la tangente vaut la dérivée au point considéré. · L’égalité des dérivées latérales suffit lorsque chacune existe dans $$\mathbb{R}$$.

Explication

Une fonction est dérivable en x0x_0 lorsque ses dérivées à gauche et à droite existent et coïncident. La tangente a pour pente f′(x0)f'(x_0), et elle fournit une approximation linéaire locale de la fonction.

6. À propos de la dérivée et de la tangente en x0x_0, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La tangente fournit une approximation quadratique de la fonction au voisinage.
La pente de la tangente est donnée par la valeur f(x0)f(x_0).
La dérivée f′(x0)f'(x_0) est la pente de la tangente à la courbe.
La dérivée f′(x0)f'(x_0) représente la pente d’une sécante quelconque.
La tangente donne une approximation linéaire de f(x)f(x) près du point étudié.

La dérivée $$f'(x_0)$$ est la pente de la tangente à la courbe. · La tangente donne une approximation linéaire de $$f(x)$$ près du point étudié.

Explication

La dérivée en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. La tangente constitue aussi une approximation linéaire locale, mais elle n’est pas une approximation constante ni une sécante.

7. Concernant les extrema d’une fonction continue sur [a,b][a,b] :

La fonction atteint un maximum dans l’intervalle [a,b][a,b].
Une fonction quelconque atteint nécessairement un maximum sur [a,b][a,b].
La continuité sur [a,b][a,b] garantit l’existence de ces deux valeurs extrêmes.
Une fonction quelconque atteint nécessairement un minimum sur [a,b][a,b].
La fonction atteint un minimum dans l’intervalle [a,b][a,b].

La fonction atteint un maximum dans l’intervalle $$[a,b]$$. · La continuité sur $$[a,b]$$ garantit l’existence de ces deux valeurs extrêmes. · La fonction atteint un minimum dans l’intervalle $$[a,b]$$.

Explication

Le théorème des bornes atteintes garantit qu’une fonction continue sur un segment possède un maximum et un minimum dans ce segment. Cette conclusion dépend de la continuité sur [a,b][a,b] et ne s’applique pas à une fonction quelconque.

8. Les conditions de continuité sur l’intervalle fermé [a,b][a,b] comprennent :

La continuité à gauche au point aa comme condition d’extrémité.
La continuité de la fonction en tout point de [a,b][a,b].
La continuité à droite au point bb comme condition d’extrémité.
La continuité à droite au point aa.
La continuité à gauche au point bb.

La continuité de la fonction en tout point de $$[a,b]$$. · La continuité à droite au point $$a$$. · La continuité à gauche au point $$b$$.

Explication

Sur un intervalle fermé, la fonction doit être continue en chaque point, avec une condition latérale adaptée à chaque extrémité. Il faut donc la continuité à droite en aa et à gauche en bb.

9. Un mobile parcourt une distance e=f(t)e=f(t) : quelles propositions sont exactes concernant ses vitesses ?

La vitesse instantanée se calcule par le quotient sur l’intervalle entier.
Sur [t0,t0+Δt][t_0,t_0+\Delta t], la vitesse moyenne vaut Δe/Δt\Delta e/\Delta t.
La vitesse moyenne décrit le mouvement sur un intervalle de temps non nul.
La vitesse instantanée en t0t_0 est égale à f′(t0)f'(t_0).
La vitesse instantanée en t0t_0 s’obtient en faisant tendre Δt\Delta t vers zéro.

Sur $$[t_0,t_0+\Delta t]$$, la vitesse moyenne vaut $$\Delta e/\Delta t$$. · La vitesse moyenne décrit le mouvement sur un intervalle de temps non nul. · La vitesse instantanée en $$t_0$$ est égale à $$f'(t_0)$$. · La vitesse instantanée en $$t_0$$ s’obtient en faisant tendre $$\Delta t$$ vers zéro.

Explication

La vitesse moyenne décrit le déplacement sur l’intervalle considéré par Δe/Δt\Delta e/\Delta t. La vitesse instantanée est une valeur attachée à l’instant t0t_0, obtenue par passage à la limite et égale à la dérivée de la distance.

10. Concernant la continuité à gauche en un point, quelles propositions sont exactes ?

Elle caractérise une fonction dont la limite latérale droite vaut f(x0)f(x_0).
Elle peut être définie lorsque x0x_0 n’appartient pas au domaine de définition.
Elle exige que le point considéré appartienne au domaine de définition.
Elle utilise la limite de f(x)f(x) lorsque xx tend vers x0x_0 par la droite.
Elle compare la limite latérale gauche à la valeur de la fonction au point.

Elle exige que le point considéré appartienne au domaine de définition. · Elle compare la limite latérale gauche à la valeur de la fonction au point.

Explication

La continuité à gauche compare la limite lorsque xx tend vers x0x_0 par des valeurs inférieures avec f(x0)f(x_0). La continuité à droite utilise, elle, la limite latérale droite, et l’appartenance de x0x_0 au domaine est requise.

11. Une fonction est continue en x0x_0 si et seulement si :

La continuité en x0x_0 repose sur une seule limite latérale choisie.
Ses deux continuités latérales sont établies au même point.
Sa continuité à gauche suffit à assurer sa continuité en x0x_0.
Elle est continue à gauche et à droite en x0x_0.
Sa continuité à droite suffit à assurer sa continuité en x0x_0.

Ses deux continuités latérales sont établies au même point. · Elle est continue à gauche et à droite en $$x_0$$.

Explication

Une fonction est continue en x0x_0 lorsque ses deux limites latérales correspondent à sa valeur en ce point. Une seule continuité latérale ne suffit donc pas pour conclure à la continuité en x0x_0.

12. Soit ff continue sur [a,b][a,b] et telle que f(a)×f(b)<0f(a)\times f(b)<0. Quelles propositions sont exactes ?

La condition garantit une annulation à l’une des extrémités.
Les valeurs f(a)f(a) et f(b)f(b) sont de signes opposés.
Des valeurs de même signe aux extrémités garantissent aussi une annulation intérieure.
La conclusion repose sur la continuité de ff sur le segment considéré.
La fonction s’annule au moins une fois entre aa et bb.

Les valeurs $$f(a)$$ et $$f(b)$$ sont de signes opposés. · La fonction s’annule au moins une fois entre $$a$$ et $$b$$.

Explication

Si une fonction continue vérifie f(a)×f(b)<0f(a)\times f(b)<0, ses valeurs aux extrémités sont de signes opposés et le théorème des valeurs intermédiaires garantit une annulation dans l’intervalle. Des valeurs de même signe ne suffisent pas à garantir une racine.

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Qu'impose la continuité à gauche en un point x₀ pour f(x)?

La limite de f(x) quand x tend vers x₀ par la gauche vaut f(x₀).

Quelles conditions doivent être remplies pour la continuité à gauche en x₀?

x₀ doit appartenir au domaine de définition de f.

Qu'impose la continuité en x₀ pour une fonction ?

Elle doit être continue à gauche et à droite en x₀.

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