Fiche de révision : Calculs et ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Puissances entières et règles de calcul
2. Puissances de dix et écriture scientifique
3. Fractions rationnelles et équivalences
4. Calculs et opérations sur les fractions
5. Racines carrées et simplification
6. Divisibilité et division euclidienne
7. Nombres premiers et décomposition
8. Parité et carré d’un entier
9. Ensembles et nature des nombres

📖 1. Puissances entières et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour un entier positif non nul n et un nombre relatif a, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a ; si a est non nul, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, et par convention $a^0=1$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des exposants n et m, $a^n\times a^m=a^{n+m}$ et $a^n\times b^n=(a\times b)^n$.

Compléments

📌 Il n’existe pas de règle analogue pour additionner ou soustraire des puissances : on calcule chaque puissance en respectant les priorités opératoires.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne les exposants au produit ; même exposant : on multiplie les bases.

📖 2. Puissances de dix et écriture scientifique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier positif non nul n, $10^n$ est 1 suivi de n zéros et $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$ ; par convention, $10^0=1$.

📐 Formule - Pour des entiers n et m, $10^n\times10^m=10^{n+m}$, $\frac{10^n}{10^m}=10^{n-m}$ et $\left(10^n\right)^m=10^{n\times m}$.

Compléments

• Le nombre 2105 s’écrit en notation scientifique $2{,}105\times10^3$.

• Le nombre 0,00741 s’écrit en notation scientifique $7{,}41\times10^{-3}$.

💡 Astuce mémo

La virgule se déplace et les zéros suivent la puissance de dix.

📖 3. Fractions rationnelles et équivalences

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers relatifs et b est non nul.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont qu’un seul diviseur commun : 1.

📝 Points essentiels

📌 Multiplier ou diviser par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur d’une fraction conserve le nombre rationnel représenté.

• Pour comparer deux fractions ou effectuer leur addition, on peut les réduire au même dénominateur, puis comparer ou additionner leurs numérateurs.

📖 4. Calculs et opérations sur les fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’une fraction : L’inverse de $\frac{a}{b}$, avec a non nul, est $\frac{b}{a}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des fractions de même dénominateur non nul, $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$ et $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$.

📐 Formule - Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

📌 Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Compléments

• Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la seconde, puis on simplifie si possible.

💡 Astuce mémo

Multiplier des fractions : on multiplie numérateurs et dénominateurs ; additionner : il faut d’abord un dénominateur commun.

📖 5. Racines carrées et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a, donc $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$.

★ À maîtriser

• La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas dans les nombres réels.

📐 Formule - Pour des nombres positifs a et b, $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ et, si b est non nul, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Compléments

📌 En général, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ; par exemple, $\sqrt{16+9}=5$ alors que $\sqrt{16}+\sqrt{9}=7$.

• En simplifiant les facteurs carrés, $\sqrt{12}\times\sqrt{30}=6\sqrt{10}$.

💡 Astuce mémo

Le produit passe sous le radical, mais la somme n’y entre pas.

📖 6. Divisibilité et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Pour des entiers naturels non nuls a et b, b est un diviseur de a si a=b×k pour un entier naturel k ; alors a est un multiple de b.
• Division euclidienne : La division euclidienne de a par b s’écrit $a=bq+r$, où q et r sont des entiers naturels et où le reste r vérifie $r<b$.

📝 Points essentiels

• Pour établir la liste des diviseurs d’un entier, on recherche les produits de paires d’entiers naturels égaux à cet entier et on s’arrête lorsque les paires recommencent à répéter les diviseurs déjà trouvés.

• La division euclidienne de 183 par 12 donne $183=12\times15+3$, avec un quotient de 15 et un reste de 3.

📖 7. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même ; 1 n’est donc pas premier.

★ À maîtriser

📌 Pour un entier n qui n’est pas premier, son plus petit diviseur différent de 1 est premier et inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

📌 Tout nombre entier peut être décomposé de manière unique en un produit de nombres premiers.

Compléments

• Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

• Le crible d’Ératosthène détermine les nombres premiers en éliminant les multiples des nombres premiers successifs dans une liste d’entiers.

💡 Astuce mémo

Crible : barrer les multiples des nombres premiers successifs pour isoler les premiers.

📖 8. Parité et carré d’un entier

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier pair : Un entier n est pair si et seulement s’il existe un entier p tel que $n=2p$.
• Entier impair : Un entier n est impair si et seulement s’il existe un entier p tel que $n=2p+1$.

📝 Points essentiels

📌 Si n est pair, alors $n^2$ est pair.

💡 Astuce mémo

Un entier pair s’écrit 2p, donc son carré est pair.

📖 9. Ensembles et nature des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : L’ensemble des abscisses d’une droite munie d’une origine et d’une graduation constitue l’ensemble des nombres réels ℝ ; cette droite est appelée droite des réels.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres s’emboîtent selon l’inclusion $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

Compléments

• L’ensemble des entiers naturels privés de zéro se note $\mathbb{N}^*=\mathbb{N}\setminus\{0\}$, et l’ensemble des réels positifs se note ℝ⁺.

📌 Le nombre rationnel $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal, car il ne peut pas s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ pour un entier a et un entier naturel n.

• Pour un entier n, $\sqrt{n}$ est entier lorsque n est un carré parfait et irrationnel dans les autres cas.

💡 Astuce mémo

Inclusion croissante : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.