QCM : Calculs et ensembles de nombres (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour a≠0a\neq 0, que représente a−na^{-n} lorsque nn est un entier positif non nul ?

L’opposé de ana^n
Le produit de nn facteurs égaux à −a-a
La puissance ana^n diminuée de 11
L’inverse de ana^n

L’inverse de $$a^n$$

Explication

Un exposant négatif donne l’inverse de la puissance positive correspondante, soit 1an\frac{1}{a^n}. Il ne signifie pas que la valeur est nécessairement négative, comme le suggère l’interprétation par l’opposé.

2. Comment simplifier le produit an×ama^n\times a^m lorsque les deux facteurs ont la même base ?

En écrivant (2a)n+m(2a)^{n+m}
En écrivant an×ma^{n\times m}
En écrivant an+ma^{n+m}
En écrivant an−ma^{n-m}

En écrivant $$a^{n+m}$$

Explication

Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants. Multiplier les exposants correspond à une autre règle, celle d’une puissance élevée à une puissance.

3. Quelle expression équivaut à (103)4\left(10^3\right)^4 ?

10710^7
10−110^{-1}
101210^{12}
103410^{34}

$$10^{12}$$

Explication

Une puissance de puissance s’obtient en multipliant les exposants : (103)4=103×4=1012\left(10^3\right)^4=10^{3\times4}=10^{12}. Additionner les exposants ne convient pas à cette opération.

4. Quelle est l’écriture scientifique de 0,007410{,}00741 ?

7,41×10−37{,}41\times10^{-3}
0,741×10−20{,}741\times10^{-2}
74,1×10−474{,}1\times10^{-4}
7,41×1037{,}41\times10^3

$$7{,}41\times10^{-3}$$

Explication

Déplacer la virgule de 0,007410{,}00741 de trois rangs vers la droite donne 7,417{,}41, ce qui impose le facteur 10−310^{-3}. Un exposant positif ferait représenter un nombre beaucoup plus grand que celui de départ.

5. Quelle condition caractérise une écriture d’un nombre rationnel sous la forme ab\frac{a}{b} ?

aa et bb sont des nombres décimaux et b≠0b\neq0
aa et bb sont des entiers relatifs et a≠0a\neq0
aa est un entier relatif et bb est un entier positif
aa et bb sont des entiers relatifs et b≠0b\neq0

$$a$$ et $$b$$ sont des entiers relatifs et $$b\neq0$$

Explication

Un rationnel peut s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul. Le numérateur, lui, peut être nul, par exemple dans l’écriture 01\frac{0}{1}.

6. Quelle transformation conserve la valeur représentée par une fraction ?

Diviser le numérateur par un nombre et multiplier le dénominateur par ce nombre
Ajouter le même nombre au numérateur et au dénominateur
Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul
Multiplier le numérateur par un nombre non nul et garder le dénominateur

Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul

Explication

Multiplier ou diviser les deux termes d’une fraction par un même nombre non nul conserve sa valeur. Modifier le seul numérateur change généralement cette valeur, même si le dénominateur reste intact.

7. Pour comparer 23\frac{2}{3} et 35\frac{3}{5}, quelle démarche permet de comparer directement leurs numérateurs ?

Soustraire les numérateurs, puis comparer les dénominateurs initiaux
Comparer les dénominateurs et retenir la fraction au plus grand dénominateur
Les réduire au même dénominateur, puis comparer les numérateurs
Additionner les dénominateurs, puis comparer les numérateurs initiaux

Les réduire au même dénominateur, puis comparer les numérateurs

Explication

Une fois les fractions exprimées avec un même dénominateur, la comparaison de leurs numérateurs permet de déterminer laquelle est la plus grande. Comparer les dénominateurs seuls ne suffit pas à établir l’ordre des fractions.

8. Comment calcule-t-on la somme de deux fractions ayant le même dénominateur non nul ?

On additionne les dénominateurs et on conserve le numérateur.
On additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur.
On conserve le numérateur et on soustrait les dénominateurs.
On multiplie les numérateurs et on conserve le dénominateur.

On additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur.

Explication

Lorsque les dénominateurs sont identiques, la somme s’obtient en additionnant les numérateurs tout en gardant le dénominateur commun. Additionner les dénominateurs ne respecte pas cette règle.

9. Quelle opération permet de calculer le produit de 35\frac{3}{5} par 27\frac{2}{7} ?

Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Multiplier le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde.
Additionner les deux numérateurs et les deux dénominateurs.
Additionner les numérateurs et conserver un dénominateur commun.

Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Explication

Le produit de fractions se calcule en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. La recherche d’un dénominateur commun concerne l’addition, pas la multiplication.

10. Quel est l’inverse de 58\frac{5}{8} ?

−85-\frac{8}{5}
58\frac{5}{8}
85\frac{8}{5}
−58-\frac{5}{8}

$$\frac{8}{5}$$

Explication

L’inverse d’une fraction non nulle s’obtient en échangeant son numérateur et son dénominateur. −58-\frac{5}{8} est son opposé, et non son inverse.

11. Pour calculer 24÷624\div 6 à l’aide de l’inverse, quelle opération équivalente utilise-t-on ?

Multiplier 24 par 6.
Additionner 24 et l’inverse de 6.
Multiplier 24 par l’inverse de 6.
Diviser l’inverse de 24 par 6.

Multiplier 24 par l’inverse de 6.

Explication

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse ; ici, on multiplie donc 24 par l’inverse de 6. Multiplier directement par 6 correspondrait à une autre opération.

12. Quelle description caractérise 25\sqrt{25} dans les nombres réels ?

Le nombre dont le double vaut 25.
Le nombre négatif dont le carré vaut 25.
Les deux nombres dont le carré vaut 25.
Le nombre positif dont le carré vaut 25.

Le nombre positif dont le carré vaut 25.

Explication

La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré est égal à ce nombre, donc 25=5\sqrt{25}=5. L’équation x2=25x^2=25 a deux solutions, mais la racine carrée désigne la solution positive.

13. Que peut-on dire de la racine carrée de −9-9 dans l’ensemble des nombres réels ?

Elle vaut 33 dans les nombres réels.
Elle n’existe pas dans les nombres réels.
Elle possède deux valeurs réelles opposées.
Elle vaut −3-3 dans les nombres réels.

Elle n’existe pas dans les nombres réels.

Explication

Aucun nombre réel élevé au carré ne donne un résultat négatif, donc −9\sqrt{-9} n’existe pas dans les réels. Le nombre −3-3 a pour carré 9, et non −9-9.

14. Pour des nombres positifs aa et bb, quelle égalité permet de séparer la racine d’un produit ?

a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times b
a×b=a×b\sqrt{a\times b}=a\times\sqrt{b}
a×b=a+b\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}

$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$$

Explication

Pour des nombres positifs, la racine carrée d’un produit est le produit des racines carrées des facteurs. La somme des racines ne donne pas en général la racine du produit.

15. Pour des entiers naturels non nuls aa et bb, quelle condition montre que bb est un diviseur de aa ?

Il existe un entier naturel kk tel que b=a×kb=a\times k.
Il existe un entier naturel kk tel que a=b×ka=b\times k.
Il existe un entier naturel kk tel que a=b−ka=b-k.
Il existe un entier naturel kk tel que a=b+ka=b+k.

Il existe un entier naturel $$k$$ tel que $$a=b\times k$$.

Explication

bb est un diviseur de aa lorsque aa s’écrit comme le produit de bb par un entier naturel. L’écriture a=b+ka=b+k exprime une somme, pas une relation de divisibilité.

16. Dans une division euclidienne de aa par bb, quelles conditions doivent vérifier le quotient qq et le reste rr ?

a=bq−ra=bq-r, avec qq et rr naturels et r<br<b.
a=bq+ra=bq+r, avec qq et rr naturels et r<br<b.
a=bq+ra=bq+r, avec qq et rr naturels et r>br>b.
a=b+r+qa=b+r+q, avec qq et rr naturels et r<br<b.

$$a=bq+r$$, avec $$q$$ et $$r$$ naturels et $$r<b$$.

Explication

La division euclidienne s’écrit a=bq+ra=bq+r, avec des entiers naturels qq et rr et un reste inférieur au diviseur. Un reste supérieur au diviseur ne satisfait pas cette condition.

17. Pourquoi le nombre 1 n’est-il pas premier ?

Il possède deux diviseurs positifs, mais ils sont tous deux différents de lui-même.
Il possède un seul diviseur positif, lui-même.
Il n’a aucun diviseur positif autre que zéro.
Il possède trois diviseurs positifs, dont 1 et lui-même.

Il possède un seul diviseur positif, lui-même.

Explication

Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs, 1 et lui-même, alors que 1 n’en a qu’un. Un nombre ayant deux diviseurs distincts de lui-même ne correspond pas à cette définition.

18. Un entier non premier vaut 91 et son plus petit diviseur supérieur à 1 est 7. Quelle propriété ce diviseur vérifie-t-il ?

Il est composé et supérieur à 91\sqrt{91}.
Il est composé et inférieur ou égal à 91\sqrt{91}.
Il est premier et inférieur ou égal à 91\sqrt{91}.
Il est premier et supérieur à 91\sqrt{91}.

Il est premier et inférieur ou égal à $$\sqrt{91}$$.

Explication

Le plus petit diviseur de 91 différent de 1 est premier et ne dépasse pas 91\sqrt{91}. Un diviseur supérieur à cette racine ne respecterait pas la borne indiquée.

19. Que garantit la décomposition en facteurs premiers d’un entier ?

Elle existe pour chaque entier, mais peut comporter des facteurs non premiers.
Elle existe et est unique pour chaque entier.
Elle est unique, mais seulement pour les entiers déjà premiers.
Elle existe, mais peut varier selon l’ordre des facteurs et leur choix.

Elle existe et est unique pour chaque entier.

Explication

Tout entier peut être écrit comme un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique. L’ordre dans lequel on présente les facteurs peut changer, mais cela ne rend pas la décomposition différente.

20. Quel critère caractérise un entier pair ?

Il peut s’écrire sous la forme p+2p+2, où pp est un entier.
Il peut s’écrire sous la forme p2p^2, où pp est un entier.
Il peut s’écrire sous la forme 2p+12p+1, où pp est un entier.
Il peut s’écrire sous la forme 2p2p, où pp est un entier.

Il peut s’écrire sous la forme $$2p$$, où $$p$$ est un entier.

Explication

Un entier est pair si et seulement s’il est le double d’un entier, donc s’il s’écrit 2p2p. La forme 2p+12p+1 caractérise au contraire les entiers impairs.

21. Un entier s’écrit n=2p+1n=2p+1 avec pp entier. Que peut-on conclure sur nn ?

nn est pair.
nn est nécessairement positif.
nn est nécessairement premier.
nn est impair.

$$n$$ est impair.

Explication

La forme 2p+12p+1 définit un entier impair. Cette écriture ne garantit pas que l’entier soit positif ou premier.

22. Si un entier nn est pair, quelle propriété vérifie son carré ?

n2n^2 est pair.
n2n^2 est impair.
n2n^2 est nécessairement premier.
n2n^2 est nécessairement égal à nn.

$$n^2$$ est pair.

Explication

Le carré d’un entier pair est pair. Le fait que le carré soit pair n’implique pas qu’il soit premier, comme le montre par exemple le carré de 2.

23. Quelle relation d’inclusion décrit l’emboîtement des ensembles de nombres ?

Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}
N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}
D⊂N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{D}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers, eux-mêmes inclus dans les décimaux, les rationnels puis les réels. L’ordre qui place les décimaux avant les entiers inverse cette inclusion.

24. Quel ensemble est constitué des abscisses des points d’une droite munie d’une origine et d’une graduation ?

L’ensemble des nombres rationnels Q\mathbb{Q}.
L’ensemble des entiers Z\mathbb{Z}.
L’ensemble des nombres décimaux D\mathbb{D}.
L’ensemble des nombres réels R\mathbb{R}.

L’ensemble des nombres réels $$\mathbb{R}$$.

Explication

Les abscisses d’une droite graduée munie d’une origine constituent l’ensemble des nombres réels, et cette droite est appelée droite des réels. Les rationnels et les entiers forment des ensembles inclus dans les réels, mais ne regroupent pas toutes ses abscisses.

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Comment définir ana^n pour un entier positif non nul nn ?

C’est le produit de nn facteurs égaux à aa.

À quoi correspond a−na^{-n} lorsque aa est non nul ?

1an\frac{1}{a^n}

Quelle est la valeur conventionnelle de a0a^0 ?

11

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