Fiche de révision : Comparaison de proportions

📋 Plan du Cours

1. Proportion observée et référence
2. Intervalle de confiance des proportions
3. Test z de deux proportions
4. Tableaux et test du χ²
5. Test du χ² d’adéquation
6. Séries appariées et test McNemar
7. Petits effectifs et test exact
8. Choix du risque et interprétation

📖 1. Proportion observée et référence

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour comparer une proportion observée p à une référence πR, la statistique est $z = \frac{p-\pi_R}{\sqrt{\pi_R(1-\pi_R)/n}}$ et suit approximativement une loi normale centrée réduite sous H0.

📌 Pour le test z d’une proportion à une référence, H0 pose πG = πR et H1 pose πG ≠ πR ; le test est bilatéral et H0 est rejetée si |zobs| atteint ou dépasse la valeur seuil.

📌 La comparaison à une référence oppose une proportion observée dans un échantillon à une proportion théorique connue, tandis que la comparaison de deux proportions oppose les résultats de deux groupes.

Compléments

📌 L’approximation normale du test d’une proportion à une référence exige n × πR > 5 et n × (1 − πR) > 5.

• Pour 200 sujets, une proportion observée de 65 % est comparée à la proportion mendélienne de 75 % ; le test donne zobs = −3,27 et, au seuil bilatéral de 5 % (|zseuil| = 1,96), H0 est rejetée.

📌 La méthode de significativité de Fisher calcule la probabilité d’obtenir un écart au moins aussi important que celui observé sous H0, tandis que le test exact de Fisher est une procédure distincte fondée sur la loi hypergéométrique.

📖 2. Intervalle de confiance des proportions

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux proportions observées indépendantes, la variance estimée de leur différence est $\widehat{Var}(p_A-p_B)=\frac{p_Aq_A}{n_A}+\frac{p_Bq_B}{n_B}$, avec qA = 1 − pA et qB = 1 − pB.

📐 Formule - L’intervalle de confiance gaussien de niveau 1 − α pour la différence de deux proportions est $(p_A-p_B) \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p_Aq_A}{n_A}+\frac{p_Bq_B}{n_B}}$, avec qA = 1 − pA et qB = 1 − pB.

• Un intervalle de confiance à 95 % décrit une procédure dont 95 % des intervalles construits contiennent la vraie différence ; il ne signifie pas qu’il y a 95 % de chances que la valeur fixe soit dans l’intervalle calculé.

Compléments

📌 Pour l’intervalle de confiance de la différence, les variances des deux groupes sont additionnées parce que les proportions sont indépendantes ; cette estimation n’est pas la variance commune utilisée sous l’hypothèse d’égalité dans le test z.

• Dans l’exemple d’application, pA = 0,54, pB = 0,37, nA = 58 et nB = 61 donnent une différence de 0,17 et un intervalle de confiance [−0,006 ; 0,346].

📖 3. Test z de deux proportions

★ À maîtriser

📐 Formule - Sous H0 d’égalité des proportions, la proportion commune estimée est $p_C=\frac{n_Ap_A+n_Bp_B}{n_A+n_B}$ et sa complémentaire vaut qC = 1 − pC.

📐 Formule - Le test z de deux proportions utilise $z=\frac{p_A-p_B}{\sqrt{p_Cq_C(1/n_A+1/n_B)}}$ et suit approximativement une loi normale centrée réduite sous H0.

📌 Pour une table 2 × 2, le test du χ² et le test z de comparaison de deux proportions sont strictement équivalents, car χ²obs = zobs².

Compléments

📌 La validité du test z de deux proportions exige nA pA ≥ 5, nA qA ≥ 5, nB pB ≥ 5 et nB qB ≥ 5.

• Avec nA = nB = 50, pA = 0,52 et pB = 0,38, la proportion commune vaut 0,45 et z = 1,41 ; au seuil bilatéral de 5 % (1,96), H0 n’est pas rejetée.

📖 4. Tableaux et test du χ²

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré de liberté : Nombre de cases indépendantes à fixer dans un tableau de contingence une fois les marges connues.

★ À maîtriser

• Pour un tableau de contingence comportant I lignes et J colonnes, le nombre de degrés de liberté vaut $(I-1)(J-1)$.

📐 Formule - Sous H0 d’indépendance, l’effectif théorique de la cellule (i,j) est $e_{ij}=\frac{o_{i.}o_{.j}}{o_{..}}$, où les termes au numérateur sont les marges de ligne et de colonne et le dénominateur l’effectif total.

📐 Formule - La statistique du test du χ² d’indépendance est $\chi^2_{obs}=\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\frac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$.

Compléments

📌 Le test du χ² d’indépendance exige que tous les effectifs théoriques eij soient au moins égaux à 5.

📌 Dans le test du χ² d’indépendance, H0 affirme que les répartitions en lignes et en colonnes ne diffèrent pas, tandis que H1 affirme qu’elles diffèrent ; H0 est rejetée lorsque χ²obs dépasse le seuil critique correspondant aux degrés de liberté et au risque α.

📖 5. Test du χ² d’adéquation

★ À maîtriser

• Le χ² d’adéquation compare une répartition observée à une répartition théorique, notamment pour une proportion, une distribution multinomiale ou une loi de probabilité spécifiée.

• Le χ² d’indépendance estime les effectifs attendus à partir des marges observées, tandis que le χ² d’adéquation utilise des effectifs théoriques fixés par une référence externe.

• Le rejet de l’adéquation mendélienne indique que les données de la population étudiée sont incompatibles avec la répartition théorique au seuil retenu, mais ne réfute pas la théorie mendélienne en général.

Compléments

📐 Formule - Pour l’exemple mendélien, $\chi^2_{obs}=\frac{(130-150)^2}{150}+\frac{(70-50)^2}{50}=10{,}67$ ; avec 1 degré de liberté et α = 5 %, le seuil est 3,84 et H0 est rejetée.

• Pour 200 sujets, la théorie mendélienne prévoit 150 phénotypes A et 50 phénotypes α ; l’échantillon observé contient 130 A et 70 α.

• Pour la répartition des groupes sanguins basques comparée à la référence française, le χ² observé vaut 17,92 pour 3 degrés de liberté ; au seuil de 5 %, le seuil critique est 7,815 et H0 est rejetée.

📖 6. Séries appariées et test McNemar

🔑 Notions clés & Définitions

• Série appariée : Répétition d’une mesure qualitative chez les mêmes sujets ou sur des éléments liés, de sorte que les observations des deux séries ne sont pas indépendantes.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le test de McNemar, la statistique est $\chi^2_{obs;SA}=\frac{(b-c)^2}{b+c}$, où b et c sont les effectifs des deux types de paires discordantes.

📌 Dans les données appariées, les paires concordantes donnent le même résultat des deux côtés, tandis que les paires discordantes donnent des résultats différents et sont informatives pour comparer les conditions.

Compléments

📌 Le test de McNemar est utilisé pour comparer deux proportions qualitatives appariées, et non le test du χ² d’indépendance qui suppose des observations indépendantes.

📌 La condition d’application indiquée pour le test de McNemar est (b + c)/2 ≥ 5.

• Dans l’exemple cas-témoins, les effectifs discordants sont b = 8 et c = 10 ; χ²obs;SA = 0,22, inférieur au seuil 2,706 au risque de 10 %, donc H0 n’est pas rejetée.

📖 7. Petits effectifs et test exact

★ À maîtriser

• Le test exact bilatéral de Fisher additionne les probabilités des tables dont la probabilité est inférieure ou égale à celle de la table observée, puis compare cette somme au seuil choisi.

📌 Le test exact de Fisher utilise la loi hypergéométrique lorsque les marges d’un tableau à quatre cases sont fixées, et reste valide lorsque les conditions d’application du χ² ne sont pas satisfaites.

Compléments

📐 Formule - Pour une table 2 × 2 à marges fixées, la probabilité d’observer la configuration de cellule A = a est $\Pr(A=a)=\frac{n_1!n_2!m_1!m_2!}{a!b!c!d!n!}$.

• Les petits effectifs peuvent notamment résulter de :

  • dosages coûteux
  • animaux particuliers
  • maladies rares
  • protocoles complexes
  • études pilotes

• Dans l’exemple donné, la somme des probabilités des tables aussi peu probables ou moins probables que la table observée vaut p = 0,0278 ; comme p < 0,05, H0 est rejetée.

• Le test exact de Fisher est valide même lorsque les effectifs sont grands, mais son calcul manuel est peu commode et il est le seul test présenté comme valide lorsque les effectifs sont petits.

📖 8. Choix du risque et interprétation

★ À maîtriser

📌 Le risque α est la probabilité de déclarer présent un effet inexistant, tandis que, dans la méthode de Fisher, le seuil de probabilité traduit ce qui est considéré comme un événement rare.

📌 Ne pas rejeter H0 signifie que les données ne suffisent pas à mettre en évidence une différence, et ne signifie pas que H0 est définitivement acceptée.

Compléments

📌 Le choix de α dépend du contexte et du coût du risque ; il peut être plus grand si un médicament a peu d’effets secondaires et plus petit si son efficacité doit être établie avec davantage de prudence, en tenant compte de la gravité de la maladie et des traitements disponibles.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaisons de proportions et tests