QCM : Comparaison de proportions (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une équipe compare le taux observé dans un échantillon à une valeur théorique connue. De quel type de comparaison s’agit-il ?

D’une comparaison de deux échantillons réunis en une seule proportion
D’une comparaison des proportions observées dans deux groupes
D’une comparaison d’une proportion observée à une référence théorique
D’une comparaison de deux références théoriques indépendantes

D’une comparaison d’une proportion observée à une référence théorique

Explication

Cette démarche confronte une proportion issue d’un échantillon à une proportion de référence connue. Comparer deux groupes porterait plutôt sur deux proportions observées.

2. Pour tester une proportion observée pp par rapport à une référence πR\pi_R dans un échantillon de taille nn, quelle statistique standardisée utilise-t-on ?

z=p−πRπR(1−πR)z=\frac{p-\pi_R}{\sqrt{\pi_R(1-\pi_R)}}
z=p−πRp(1−p)/nz=\frac{p-\pi_R}{\sqrt{p(1-p)/n}}
z=p−πRπR(1−πR)/nz=\frac{p-\pi_R}{\sqrt{\pi_R(1-\pi_R)/n}}
z=p−πR(p+πR)/nz=\frac{p-\pi_R}{\sqrt{(p+\pi_R)/n}}

$$z=\frac{p-\pi_R}{\sqrt{\pi_R(1-\pi_R)/n}}$$

Explication

Sous l’hypothèse nulle, l’écart est rapporté à une erreur-type calculée avec la proportion de référence et la taille de l’échantillon. Employer pp dans cette erreur-type correspond à une autre estimation de variance, non à la formule indiquée pour ce test.

3. Dans un test bilatéral d’une proportion contre une référence, quelle règle conduit au rejet de l’hypothèse nulle ?

Rejeter H0H_0 si zobsz_{obs} est inférieur à la valeur seuil
Rejeter H0H_0 si zobsz_{obs} dépasse la valeur seuil dans un sens fixé
Rejeter H0H_0 si ∣zobs∣|z_{obs}| atteint ou dépasse la valeur seuil
Rejeter H0H_0 si la proportion observée est égale à la référence

Rejeter $$H_0$$ si $$|z_{obs}|$$ atteint ou dépasse la valeur seuil

Explication

Le test bilatéral recherche un écart dans l’un ou l’autre sens, d’où l’emploi de la valeur absolue de la statistique. Un critère portant sur un seul sens correspondrait à un test unilatéral.

4. Pour deux proportions observées indépendantes, quelle expression estime la variance de leur différence ?

(pA−pB)(qA−qB)nA+nB\frac{(p_A-p_B)(q_A-q_B)}{n_A+n_B}
pAqAnA+pBqBnB\frac{p_Aq_A}{n_A}+\frac{p_Bq_B}{n_B}
pAqA+pBqBnA+nB\frac{p_Aq_A+p_Bq_B}{n_A+n_B}
pAqAnA−pBqBnB\frac{p_Aq_A}{n_A}-\frac{p_Bq_B}{n_B}

$$\frac{p_Aq_A}{n_A}+\frac{p_Bq_B}{n_B}$$

Explication

L’indépendance des deux proportions conduit à additionner leurs variances estimées, chacune calculée avec sa taille de groupe. Leur soustraction ne représente pas la variance de la différence.

5. Quelle forme prend l’intervalle gaussien de niveau 1−α1-\alpha pour la différence de deux proportions indépendantes ?

(pA−pB)±z1−α/2pAqAnA+pBqBnB(p_A-p_B)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p_Aq_A}{n_A}+\frac{p_Bq_B}{n_B}}
(pA+pB)±z1−α/2pAqAnA+pBqBnB(p_A+p_B)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p_Aq_A}{n_A}+\frac{p_Bq_B}{n_B}}
(pA−pB)±z1−α/2pAqAnA−pBqBnB(p_A-p_B)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p_Aq_A}{n_A}-\frac{p_Bq_B}{n_B}}
(pA−pB)±z1−αpAqAnA+pBqBnB(p_A-p_B)\pm z_{1-\alpha}\sqrt{\frac{p_Aq_A}{n_A}+\frac{p_Bq_B}{n_B}}

$$(p_A-p_B)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p_Aq_A}{n_A}+\frac{p_Bq_B}{n_B}}$$

Explication

L’intervalle est centré sur la différence observée et sa marge utilise le quantile z1−α/2z_{1-\alpha/2} ainsi que la somme des variances estimées. Le quantile z1−αz_{1-\alpha} ne correspond pas à cette formule bilatérale.

6. Que signifie un intervalle de confiance à 95 % pour la différence réelle entre deux proportions ?

La différence fixe a 95 % de chances d’appartenir à l’intervalle calculé
L’intervalle calculé contient 95 % des différences possibles entre les groupes
La proportion observée diffère de la vraie différence dans 95 % des répétitions
La procédure produit des intervalles qui contiennent la vraie différence dans 95 % des répétitions

La procédure produit des intervalles qui contiennent la vraie différence dans 95 % des répétitions

Explication

Le niveau de 95 % décrit la couverture de la procédure lorsque l’échantillonnage est répété. Il ne s’interprète pas comme une probabilité de 95 % attribuée à la valeur fixe après calcul de l’intervalle.

7. Sous l’hypothèse d’égalité des proportions, comment calcule-t-on la proportion commune estimée ?

pC=pA+pB2p_C=\frac{p_A+p_B}{2}
pC=nA+nBpA+pBp_C=\frac{n_A+n_B}{p_A+p_B}
pC=nApA+nBpB2p_C=\frac{n_Ap_A+n_Bp_B}{2}
pC=nApA+nBpBnA+nBp_C=\frac{n_Ap_A+n_Bp_B}{n_A+n_B}

$$p_C=\frac{n_Ap_A+n_Bp_B}{n_A+n_B}$$

Explication

La proportion commune est une moyenne pondérée par les tailles des groupes, soit le nombre total de succès divisé par l’effectif total. La moyenne simple des deux proportions ne tient pas compte de tailles de groupes potentiellement différentes.

8. Quelle statistique sert à tester l’égalité de deux proportions avec une proportion commune estimée ?

z=pA−pBpCqC(nA+nB)z=\frac{p_A-p_B}{\sqrt{p_Cq_C(n_A+n_B)}}
z=pA−pBpAqA/nA+pBqB/nBz=\frac{p_A-p_B}{\sqrt{p_Aq_A/n_A+p_Bq_B/n_B}}
z=pA−pBpCqC(1/nA+1/nB)z=\frac{p_A-p_B}{\sqrt{p_Cq_C(1/n_A+1/n_B)}}
z=pA+pBpCqC(1/nA+1/nB)z=\frac{p_A+p_B}{\sqrt{p_Cq_C(1/n_A+1/n_B)}}

$$z=\frac{p_A-p_B}{\sqrt{p_Cq_C(1/n_A+1/n_B)}}$$

Explication

Sous l’hypothèse nulle d’égalité, le dénominateur s’appuie sur la proportion commune et sa complémentaire, multipliées par la somme des inverses des effectifs. La somme des variances propres aux groupes est utilisée pour l’intervalle de confiance, et non pour cette statistique sous l’hypothèse nulle.

9. Quel lien existe entre le test du χ2\chi^2 et le test z de comparaison de deux proportions dans un tableau 2×22\times2 ?

Ils donnent des résultats opposés, car χobs2=−zobs2\chi^2_{obs}=-z_{obs}^2
Ils sont équivalents, car χobs2=zobs2\chi^2_{obs}=z_{obs}^2
Ils sont équivalents, car χobs2=zobs\chi^2_{obs}=z_{obs}
Ils testent des hypothèses différentes, même si leurs statistiques sont liées

Ils sont équivalents, car $$\chi^2_{obs}=z_{obs}^2$$

Explication

Dans un tableau 2×22\times2, les deux tests sont strictement équivalents puisque la statistique du khi carré observée est le carré de la statistique z observée. L’égalité des statistiques sans mise au carré est incorrecte.

10. Dans un tableau de contingence à 4 lignes et 3 colonnes, combien de degrés de liberté possède le test du χ² d’indépendance ?

5 degrés de liberté
7 degrés de liberté
6 degrés de liberté
12 degrés de liberté

6 degrés de liberté

Explication

Le nombre de degrés de liberté se calcule par (I−1)(J−1) (I-1)(J-1) , soit (4−1)(3−1)=6 (4-1)(3-1)=6 . Le produit du nombre de lignes et de colonnes donnerait le nombre de cellules, pas les degrés de liberté.

11. Dans un tableau de contingence, comment calcule-t-on l’effectif théorique d’une cellule sous l’hypothèse d’indépendance ?

En multipliant les effectifs observés de la cellule et de sa ligne, puis en divisant par l’effectif total
En multipliant les effectifs marginaux de sa ligne et de sa colonne, puis en divisant par le nombre de cellules
En additionnant les effectifs marginaux de sa ligne et de sa colonne, puis en divisant par l’effectif total
En multipliant les effectifs marginaux de sa ligne et de sa colonne, puis en divisant par l’effectif total

En multipliant les effectifs marginaux de sa ligne et de sa colonne, puis en divisant par l’effectif total

Explication

Sous l’hypothèse d’indépendance, l’effectif théorique est le produit des marges de ligne et de colonne divisé par l’effectif total. Diviser par le nombre de cellules ne tient pas compte de l’effectif global ni des marges observées.

12. Quelle expression mesure l’écart global entre effectifs observés et théoriques dans le test du χ² d’indépendance ?

La somme des écarts observé-théorique, divisés par les effectifs théoriques
La somme des écarts observé-théorique au carré, divisés par les effectifs observés
La somme des écarts observé-théorique au carré, divisés par les effectifs théoriques
La somme des écarts observé-théorique au carré, multipliés par les effectifs théoriques

La somme des écarts observé-théorique au carré, divisés par les effectifs théoriques

Explication

La statistique additionne, pour chaque cellule, l’écart entre l’effectif observé et l’effectif théorique au carré, rapporté à l’effectif théorique. Utiliser l’effectif observé comme dénominateur modifie la statistique définie pour ce test.

13. Quelle différence distingue les effectifs attendus du test du χ² d’indépendance de ceux du test du χ² d’adéquation ?

Les deux tests les déduisent des marges observées, mais l’adéquation regroupe les catégories
Les deux tests les fixent à partir d’une référence théorique, mais l’indépendance ajuste les effectifs observés
L’indépendance les fixe à partir d’une référence théorique, tandis que l’adéquation les déduit des marges observées
L’indépendance les déduit des marges observées, tandis que l’adéquation les fixe à partir d’une référence théorique

L’indépendance les déduit des marges observées, tandis que l’adéquation les fixe à partir d’une référence théorique

Explication

Le test d’indépendance calcule les attendus à partir des marges du tableau, alors que le test d’adéquation les reçoit d’une référence externe. L’attribution de cette référence au test d’indépendance inverse la distinction entre les deux méthodes.

14. Dans quel cas le test du χ² d’adéquation est-il approprié ?

Pour estimer les effectifs attendus à partir des marges d’un tableau de contingence
Pour comparer une répartition observée à une répartition théorique spécifiée
Pour comparer deux proportions mesurées chez les mêmes sujets
Pour déterminer si deux variables qualitatives sont associées dans un tableau croisé

Pour comparer une répartition observée à une répartition théorique spécifiée

Explication

Le test d’adéquation évalue si une répartition observée correspond à une répartition théorique, par exemple une proportion ou une loi spécifiée. L’étude de l’association entre deux variables dans un tableau croisé relève plutôt du test d’indépendance.

15. Un test rejette l’adéquation des données d’une population à une répartition mendélienne au seuil retenu ; quelle conclusion est justifiée ?

Les données étudiées sont compatibles avec la répartition, mais la théorie mendélienne reste incertaine
La répartition mendélienne est confirmée, car le test a évalué les données de la population
La théorie mendélienne est réfutée, car les données observées s’en écartent au seuil retenu
Les données étudiées sont incompatibles avec cette répartition, sans réfuter la théorie mendélienne en général

Les données étudiées sont incompatibles avec cette répartition, sans réfuter la théorie mendélienne en général

Explication

Le rejet indique une incompatibilité entre les données de la population étudiée et la répartition théorique au seuil choisi. Il ne suffit pas à réfuter la théorie mendélienne en général, contrairement à la conclusion plus large proposée par un distracteur.

16. La même caractéristique qualitative est mesurée avant et après une intervention chez chaque participant ; pourquoi s’agit-il de données appariées ?

Parce que les participants sont répartis en groupes indépendants avant la mesure
Parce que les deux mesures proviennent des mêmes sujets et ne sont donc pas indépendantes
Parce que les deux mesures proviennent de groupes différents ayant la même taille
Parce que la caractéristique est qualitative et comporte deux catégories de réponse

Parce que les deux mesures proviennent des mêmes sujets et ne sont donc pas indépendantes

Explication

Les mesures sont appariées parce qu’elles sont répétées chez les mêmes sujets, ce qui rend les observations dépendantes. Des groupes différents ne formeraient pas, de ce seul fait, des paires de mesures liées.

17. Dans une comparaison de deux conditions appariées, quelles paires apportent l’information utile pour comparer les conditions ?

Les paires discordantes, dont les deux résultats diffèrent
Les paires ayant une valeur manquante dans l’une des deux conditions
Les paires concordantes, dont les deux résultats sont identiques
Toutes les paires dans la même mesure, quel que soit leur résultat

Les paires discordantes, dont les deux résultats diffèrent

Explication

Les paires discordantes diffèrent entre les deux conditions et sont informatives pour leur comparaison. Les paires concordantes ont le même résultat des deux côtés et n’apportent pas cette information comparative.

18. Pour le test de McNemar, quelle statistique utilise les effectifs bb et cc des deux types de paires discordantes ?

χobs;SA2=(b−c)2b+c\chi^2_{obs;SA}=\frac{(b-c)^2}{b+c}
χobs;SA2=(b−c)2b−c\chi^2_{obs;SA}=\frac{(b-c)^2}{b-c}
χobs;SA2=(b+c)2b−c\chi^2_{obs;SA}=\frac{(b+c)^2}{b-c}
χobs;SA2=(b+c)2b+c\chi^2_{obs;SA}=\frac{(b+c)^2}{b+c}

$$\chi^2_{obs;SA}=\frac{(b-c)^2}{b+c}$$

Explication

La statistique de McNemar est le carré de la différence entre les deux effectifs discordants, divisé par leur somme. Remplacer la différence par la somme au numérateur ne mesure pas l’asymétrie entre les deux types de paires.

19. Dans un tableau de contingence à quatre cases dont les marges sont fixées, quel principe fonde le test exact de Fisher lorsque les conditions d’application du test du χ2\chi^2 ne sont pas satisfaites ?

Il remplace les effectifs faibles par des effectifs attendus afin d’appliquer le test du χ2\chi^2.
Il utilise l’approximation asymptotique du χ2\chi^2 pour estimer une loi hypergéométrique.
Il utilise la loi hypergéométrique et ne repose pas sur l’approximation asymptotique du χ2\chi^2.
Il compare les marges observées à une distribution normale calculée sans fixer les totaux.

Il utilise la loi hypergéométrique et ne repose pas sur l’approximation asymptotique du $$\chi^2$$.

Explication

Avec des marges fixées, Fisher calcule des probabilités selon la loi hypergéométrique, ce qui permet un test exact malgré de petits effectifs. Le test du χ2\chi^2 repose plutôt sur une approximation asymptotique.

20. Comment le test bilatéral exact de Fisher construit-il la probabilité utilisée pour évaluer une table observée ?

Il additionne les probabilités des tables dont la probabilité est inférieure ou égale à celle de la table observée, puis compare cette somme au seuil choisi.
Il additionne les probabilités des tables dont la probabilité est supérieure à celle de la table observée, puis compare cette somme au seuil choisi.
Il additionne les probabilités des tables ayant les mêmes marges, puis compare le total à la probabilité de la table observée.
Il double la probabilité de la table observée, puis compare le résultat au seuil choisi sans examiner d’autres tables.

Il additionne les probabilités des tables dont la probabilité est inférieure ou égale à celle de la table observée, puis compare cette somme au seuil choisi.

Explication

La procédure bilatérale retient les tables au moins aussi peu probables que la table observée et additionne leurs probabilités avant la comparaison au seuil. Additionner les tables plus probables ne correspond pas à cette règle de calcul.

21. Quelle distinction faut-il faire entre le risque α\alpha et le seuil de probabilité employé dans la méthode de Fisher ?

Le risque α\alpha concerne la déclaration erronée d’un effet inexistant, tandis que le seuil de Fisher sert à qualifier la rareté des données sous H0H_0.
Le risque α\alpha mesure la probabilité de manquer un effet réel, tandis que le seuil de Fisher fixe la fréquence des erreurs de mesure.
Le risque α\alpha décrit la variabilité des marges, tandis que le seuil de Fisher mesure la probabilité que les marges soient fixées.
Le risque α\alpha mesure la rareté des données sous H0H_0, tandis que le seuil de Fisher indique la probabilité de déclarer un effet inexistant.

Le risque $$\alpha$$ concerne la déclaration erronée d’un effet inexistant, tandis que le seuil de Fisher sert à qualifier la rareté des données sous $$H_0$$.

Explication

Dans la démarche de Neyman-Pearson, α\alpha correspond au risque de faux positif, alors que le seuil de Fisher sert à juger si les données sont rares sous H0H_0. Le seuil de Fisher n’est donc pas une autre définition du risque de faux positif.

22. Après un test statistique, aucune différence n’est mise en évidence et l’hypothèse nulle H0H_0 n’est pas rejetée : quelle conclusion est justifiée ?

Les données prouvent que la différence observée est trop faible pour avoir une importance pratique.
Les données indiquent que le test a manqué un effet réel et que H0H_0 doit être rejetée.
Les données ne suffisent pas à mettre en évidence une différence, sans établir définitivement que H0H_0 est vraie.
Les données démontrent que H0H_0 est vraie et excluent une différence dans la population.

Les données ne suffisent pas à mettre en évidence une différence, sans établir définitivement que $$H_0$$ est vraie.

Explication

Ne pas rejeter H0H_0 signifie que les données disponibles ne suffisent pas à mettre en évidence une différence, et non que l’hypothèse est définitivement acceptée. Affirmer que H0H_0 est vraie va donc au-delà de la conclusion permise.

Révisez avec les flashcards

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Que compare une comparaison d’une proportion observée à une référence ?

Une proportion observée dans un échantillon à une proportion théorique connue.

Que compare une comparaison de deux proportions ?

Les résultats de deux groupes.

Quelle statistique compare une proportion observée p à une référence πR ?

z=p−πRπR(1−πR)/nz = \frac{p-\pi_R}{\sqrt{\pi_R(1-\pi_R)/n}}

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