Dénombrer et Récurrence en Ensembles Finis

Fiche devision : Dénombre et Récurrence dans les ensembles finis

1. 📌 L'essentiel

• Ensemble fini : ensemble avec un nombre fini d’éléments, noté Card(E).
• Principe additif : pour deux ensembles disjoints E et F, Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F).
• Produit cartésien : E × F = ensemble des couples (e,f), avec Card(E × F) = Card(E) × Card(F).
• k-uplets : listes ordonnées de k éléments de E, Card(E^k) = Card(E)^k.
• Arrangements (A_n k) : tirages sans remise de k éléments parmi n, A_n k = n! / (n−k)!.
• Permutations : arrangements de n éléments, nombre = n!.
• Récurrence : méthode de démonstration basée sur initialisation et hérédité.
• Exemples de suites : u_n = 2^n - 1, v_n = 3(1 - 2^n), prouvées par récurrence.
• Diagramme de Venn : outil pour visualiser intersections et dénombrements.
• Principes fondamentaux : multiplication pour combinaisons indépendantes, addition pour unions disjointes.

2. 🧩 Structures & Composants clés