Fiche de révision : Dérivation et convexité

📋 Plan du Cours

1. Dérivées des fonctions usuelles
2. Règles de dérivation
3. Variations et tableaux de signes
4. Tangentes et fonctions composées
5. Dérivée seconde et variations
6. Convexité et concavité
7. Points d’inflexion
8. Convexité, tangentes et inégalités

📖 1. Dérivées des fonctions usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $k'=0$, $x'=1$, $(x^n)'=nx^{n-1}$, $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$, $(e^x)'=e^x$ et $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x>0$.

📖 2. Règles de dérivation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, on a $(u+v)'=u'+v'$, $(ku)'=ku'$, $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v ne s’annule pas, et $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$.

💡 Astuce mémo

SPQ : somme, produit par un réel, quotient

📖 3. Variations et tableaux de signes

📝 Points essentiels

📌 Si $f'(x)>0$ sur un intervalle, alors f y est croissante, tandis que si $f'(x)<0$, f y est décroissante.

• Pour $f(x)=x^2-6x+1$, on a $f'(x)=2x-6$, donc f est décroissante sur $]-\infty;3]$ et croissante sur $[3;+\infty[$, avec un minimum égal à $f(3)=-8$.

💡 Astuce mémo

Signe de f' → sens de variation de f

📖 4. Tangentes et fonctions composées

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, où $f'(a)$ est la pente et $(a,f(a))$ le point de tangence.

📐 Formule — Pour une fonction composée, si g et u sont dérivables, alors $(g\circ u)'(x)=u'(x)\times g'(u(x))$.

Compléments

• Pour $f(x)=\sqrt{x^2+2}$, la règle de composition donne $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$ sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Point → pente → équation de tangente

📖 5. Dérivée seconde et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : la dérivée de sa fonction dérivée $f'$ lorsque cette dernière est dérivable

📝 Points essentiels

• Pour étudier les variations de f à l’aide de f'', on détermine le signe de f'', on en déduit les variations de f', puis on utilise le signe de f' pour obtenir les variations de f.

💡 Astuce mémo

Signe de f'' → variations de f' → variations de f

📖 6. Convexité et concavité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : sa courbe est située en dessous de tout segment reliant deux points distincts de la courbe

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction deux fois dérivable, f est convexe si et seulement si f' est croissante, ce qui équivaut à $f''\geq0$ ; f est concave si et seulement si f' est décroissante, ce qui équivaut à $f''\leq0$.

Compléments

• La fonction carré $x^2$ et la fonction exponentielle $e^x$ sont convexes, tandis que la fonction racine carrée $\sqrt{x}$ est concave sur son domaine.

💡 Astuce mémo

Convexe : courbe sous les cordes ; concave : courbe au-dessus

📖 7. Points d’inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : un point où la courbe traverse sa tangente en A et où la fonction change de convexité en a

📝 Points essentiels

📌 Si f est deux fois dérivable, $A(a;f(a))$ est un point d’inflexion si et seulement si $f''$ s’annule en a en changeant de signe.

💡 Astuce mémo

Changement de signe de f'' → changement de convexité → point d’inflexion

📖 8. Convexité, tangentes et inégalités

★ À maîtriser

📌 Si f est convexe sur un intervalle, sa courbe est située au-dessus de ses tangentes ; si f est concave, sa courbe est située au-dessous de ses tangentes.

📌 Pour tout réel $x>0$, la concavité de la fonction racine carrée et sa tangente en 1 donnent $\sqrt{x}\leq\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$.

Compléments

• Pour $f(x)=\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$, on a $f''(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}<0$, donc f est concave et sa tangente au point d’abscisse 1 est $y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$.

💡 Astuce mémo

Convexe : courbe au-dessus des tangentes ; concave : courbe au-dessous

📊 Tableaux de synthèse

Signe des dérivées et propriétés