Dérivation et convexité

📋 Plan du Cours

1. Dérivées des fonctions usuelles
2. Règles de dérivation
3. Variations et tableaux de signes
4. Tangentes et fonctions composées
5. Dérivée seconde et variations
6. Convexité et concavité
7. Points d’inflexion
8. Convexité, tangentes et inégalités

📖 1. Dérivées des fonctions usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $k'=0$, $x'=1$, $(x^n)'=nx^{n-1}$, $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$, $(e^x)'=e^x$ et $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x>0$.

📖 2. Règles de dérivation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, on a $(u+v)'=u'+v'$, $(ku)'=ku'$, $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v ne s’annule pas, et $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$.

💡 Astuce mémo

SPQ : somme, produit par un réel, quotient

📖 3. Variations et tableaux de signes

📝 Points essentiels

📌 Si $f'(x)>0$ sur un intervalle, alors f y est croissante, tandis que si $f'(x)<0$, f y est décroissante.