QCM : Dérivation et convexité — 16 questions

Question 1

1. Quelle est la dérivée de la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x}$ pour $x>0$ ?

f'(x)=\frac{1}{x^2}

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

f'(x)=\sqrt{x}

f'(x)=2\sqrt{x}

Explication

La dérivée de la fonction racine carrée est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ lorsque $x>0$ . L’expression $2\sqrt{x}$ correspondrait à une mauvaise application de la règle de dérivation d’une puissance.

Answer

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Question 2

2. Pour la fonction $g(x)=5+x$ , quelle expression donne sa dérivée ?

g'(x)=5

g'(x)=x

g'(x)=5x

g'(x)=1

Explication

La constante a pour dérivée zéro et la fonction $x$ a pour dérivée un, donc la dérivée de leur somme vaut $1$ . La valeur $5$ est la dérivée de la constante seule, pas celle de la fonction entière.

Answer

$$g'(x)=1$$

Question 3

3. Si $u$ et $v$ sont dérivables et si $v$ ne s’annule pas, quelle formule permet de calculer la dérivée de $\frac{u}{v}$ ?

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u-v}{u'v'}

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'}{v'}

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v+uv'}{v^2}

Explication

La dérivée d’un quotient est $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque le dénominateur ne s’annule pas. Le quotient des dérivées ne constitue pas la règle générale de dérivation d’un quotient.

Answer

$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

Question 4

4. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , comment s’écrit la dérivée de leur somme ?

(u+v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

(u+v)'=u'v'

(u+v)'=u'+v'

(u+v)'=u'v+uv'

Explication

La dérivée d’une somme est obtenue en additionnant les dérivées des deux fonctions. La formule $u'v+uv'$ concerne le produit, tandis que la formule avec $v^2$ concerne le quotient.

Answer

$$(u+v)'=u'+v'$$

Question 5

5. Que peut-on conclure si $f'(x)<0$ sur un intervalle ?

La fonction f est croissante sur cet intervalle.

La fonction f atteint un minimum sur cet intervalle.

La fonction f est constante sur cet intervalle.

La fonction f est décroissante sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée strictement négative indique que les valeurs de la fonction diminuent lorsque $x$ augmente, donc la fonction est décroissante. Une dérivée positive indiquerait au contraire une fonction croissante.

Answer

La fonction f est décroissante sur cet intervalle.

Question 6

6. Pour $f(x)=x^2-6x+1$ , quel résultat décrit correctement ses variations et son extremum ?

f croît sur

]-\infty;3]

, décroît sur

[3;+\infty[

, et son minimum vaut

8

.

f décroît sur

]-\infty;3]

, croît sur

[3;+\infty[

, et son minimum vaut

-8

.

f croît sur

]-\infty;3]

, décroît sur

[3;+\infty[

, et son maximum vaut

-8

.

f décroît sur

]-\infty;6]

, croît sur

[6;+\infty[

, et son minimum vaut

-35

.

Explication

On a $f'(x)=2x-6$ , qui est négative avant $3$ et positive après $3$ ; la fonction décroît puis croît, ce qui donne un minimum en $x=3$ . La valeur de ce minimum est $f(3)=9-18+1=-8$ , et non un maximum.

Answer

f décroît sur $$]-\infty;3]$$, croît sur $$[3;+\infty[$$, et son minimum vaut $$-8$$.

Question 7

7. Pour une fonction telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ , quelle est l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse $2$ ?

y=5(x-2)+3

y=2(x-3)+5

y=3(x+2)+5

y=3(x-2)+5

Explication

La tangente utilise $f'(a)$ comme pente et $f(a)$ comme ordonnée du point de tangence, selon $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . L’expression utilisant $f(a)$ comme coefficient directeur confond la valeur de la fonction avec celle de sa dérivée.

Answer

$$y=3(x-2)+5$$

Question 8

8. Si $h(x)=g(u(x))$ , avec $u(x)=x^2+1$ , quelle expression donne correctement la dérivée de $h$ ?

h'(x)=2x+g'(x)

h'(x)=g'(2x)\times(x^2+1)

h'(x)=2x\times g'(x^2+1)

h'(x)=g'(x^2+1)+2x

Explication

La règle de dérivation d’une composée donne $h'(x)=u'(x)\times g'(u(x))$ , avec $u'(x)=2x$ . Ajouter les dérivées ou modifier l’argument de $g'$ ne respecte pas cette règle.

Answer

$$h'(x)=2x\times g'(x^2+1)$$

Question 9

9. Comment définit-on la dérivée seconde $f''$ d’une fonction lorsque cette dérivée existe ?

Comme la dérivée de la fonction dérivée

f'

Comme la dérivée de la fonction originale

f

Comme la dérivée de la fonction réciproque de

f

Comme le carré de la dérivée première

f'

Explication

La dérivée seconde est obtenue en dérivant une seconde fois, c’est-à-dire en dérivant $f'$ . La dérivée de $f$ correspond à $f'$ , et non à $f''$ .

Answer

Comme la dérivée de la fonction dérivée $$f'$$

Question 10

10. Dans quel ordre faut-il procéder pour étudier les variations de $f$ à partir de sa dérivée seconde ?

Étudier le signe de

f''

, puis les variations de

f'

, puis le signe de

f'

Étudier le signe de

f''

, puis le signe de

f

, puis les variations de

f'

Étudier les variations de

f

, puis le signe de

f''

, puis les variations de

f'

Étudier le signe de

f'

, puis les variations de

f''

, puis le signe de

f

Explication

Le signe de $f''$ permet de déterminer les variations de $f'$ , puis le signe de $f'$ permet d’étudier les variations de $f$ . Le signe de $f$ lui-même ne fournit pas directement ses variations.

Answer

Étudier le signe de $$f''$$, puis les variations de $$f'$$, puis le signe de $$f'$$

Question 11

11. Quelle propriété géométrique caractérise une fonction convexe sur un intervalle ?

Sa courbe est située au-dessus de tout segment reliant deux points de la courbe

Sa courbe coupe chaque segment reliant deux points de la courbe

Sa courbe est parallèle à tout segment reliant deux points de la courbe

Sa courbe est située en dessous de tout segment reliant deux points de la courbe

Explication

Une fonction convexe possède une courbe située sous chaque corde reliant deux de ses points distincts. Être au-dessus des cordes caractérise plutôt la concavité.

Answer

Sa courbe est située en dessous de tout segment reliant deux points de la courbe

Question 12

12. Si une fonction deux fois dérivable vérifie $f''(x)\leq0$ sur un intervalle, quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

Elle est concave et sa dérivée est décroissante

Elle est convexe et sa dérivée est croissante

Elle est concave et sa dérivée est croissante

Elle est convexe et sa dérivée est décroissante

Explication

La condition $f''\leq0$ signifie que $f'$ est décroissante, ce qui équivaut à la concavité de $f$ . La convexité correspond à la condition opposée, $f''\geq0$ .

Answer

Elle est concave et sa dérivée est décroissante

Question 13

13. Quelle condition caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction en $A(a;f(a))$ ?

La dérivée seconde s’annule en a, sans condition supplémentaire.

La courbe possède une tangente horizontale et reste convexe autour de a.

La dérivée première s’annule en a et la fonction est croissante autour de a.

La courbe traverse sa tangente en A et la convexité change en a.

Explication

Un point d’inflexion se caractérise par le changement de convexité et le franchissement de la tangente par la courbe. L’annulation de la dérivée seconde ne suffit pas lorsqu’aucun changement de convexité ne se produit.

Answer

La courbe traverse sa tangente en A et la convexité change en a.

Question 14

14. Soit une fonction deux fois dérivable dont la dérivée seconde s’annule en a en changeant de signe ; que peut-on conclure pour $A(a;f(a))$ ?

La tangente en A est nécessairement parallèle à l’axe des abscisses.

A est nécessairement un extremum local de la courbe.

La fonction est convexe au voisinage de a sans changement de nature.

A est un point d’inflexion de la courbe.

Explication

Pour une fonction deux fois dérivable, l’annulation de $f''$ accompagnée d’un changement de signe caractérise un point d’inflexion. Cette condition ne renseigne pas directement sur un extremum ni sur l’horizontalité de la tangente.

Answer

A est un point d’inflexion de la courbe.

Question 15

15. Comment se situe la courbe d’une fonction convexe par rapport à ses tangentes sur un intervalle de convexité ?

Elle reste parallèle à chacune de ses tangentes.

Elle se trouve au-dessous de ses tangentes.

Elle coupe chaque tangente en deux points voisins.

Elle se trouve au-dessus de ses tangentes.

Explication

La convexité place la courbe au-dessus de ses tangentes. Le fait d’être située au-dessous des tangentes correspond à la concavité, et non à la convexité.

Answer

Elle se trouve au-dessus de ses tangentes.

Question 16

16. Pour quel énoncé valable pour tout réel $x>0$ la concavité de la racine carrée conduit-elle ?

\sqrt{x}\leq 2x+2

\sqrt{x}\geq 2x+2

\sqrt{x}\geq\frac{x}{2}+\frac{1}{2}

\sqrt{x}\leq\frac{x}{2}+\frac{1}{2}

Explication

La fonction racine carrée est concave et sa tangente en 1 est $y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$ , donc sa courbe est située au-dessous de cette tangente. L’inégalité avec le signe opposé serait celle attendue pour une fonction convexe dans cette configuration.

Answer

$$\sqrt{x}\leq\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$$

QCM : Dérivation et convexité — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la dérivée de la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x}$ pour $x>0$ ?

2. Pour la fonction $g(x)=5+x$ , quelle expression donne sa dérivée ?

3. Si $u$ et $v$ sont dérivables et si $v$ ne s’annule pas, quelle formule permet de calculer la dérivée de $\frac{u}{v}$ ?

4. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , comment s’écrit la dérivée de leur somme ?

5. Que peut-on conclure si $f'(x)<0$ sur un intervalle ?

6. Pour $f(x)=x^2-6x+1$ , quel résultat décrit correctement ses variations et son extremum ?

7. Pour une fonction telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ , quelle est l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse $2$ ?

8. Si $h(x)=g(u(x))$ , avec $u(x)=x^2+1$ , quelle expression donne correctement la dérivée de $h$ ?

9. Comment définit-on la dérivée seconde $f''$ d’une fonction lorsque cette dérivée existe ?

10. Dans quel ordre faut-il procéder pour étudier les variations de $f$ à partir de sa dérivée seconde ?

11. Quelle propriété géométrique caractérise une fonction convexe sur un intervalle ?

12. Si une fonction deux fois dérivable vérifie $f''(x)\leq0$ sur un intervalle, quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

13. Quelle condition caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction en $A(a;f(a))$ ?

14. Soit une fonction deux fois dérivable dont la dérivée seconde s’annule en a en changeant de signe ; que peut-on conclure pour $A(a;f(a))$ ?

15. Comment se situe la courbe d’une fonction convexe par rapport à ses tangentes sur un intervalle de convexité ?

16. Pour quel énoncé valable pour tout réel $x>0$ la concavité de la racine carrée conduit-elle ?

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QCM : Dérivation et convexité — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la dérivée de la fonction définie par f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ pour x>0x>0x>0 ?

2. Pour la fonction g(x)=5+xg(x)=5+xg(x)=5+x, quelle expression donne sa dérivée ?

3. Si uuu et vvv sont dérivables et si vvv ne s’annule pas, quelle formule permet de calculer la dérivée de uv\frac{u}{v}vu​ ?

4. Pour deux fonctions dérivables uuu et vvv, comment s’écrit la dérivée de leur somme ?

5. Que peut-on conclure si f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 sur un intervalle ?

6. Pour f(x)=x2−6x+1f(x)=x^2-6x+1f(x)=x2−6x+1, quel résultat décrit correctement ses variations et son extremum ?

7. Pour une fonction telle que f(2)=5f(2)=5f(2)=5 et f′(2)=3f'(2)=3f′(2)=3, quelle est l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse 222 ?

8. Si h(x)=g(u(x))h(x)=g(u(x))h(x)=g(u(x)), avec u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1, quelle expression donne correctement la dérivée de hhh ?

9. Comment définit-on la dérivée seconde f′′f''f′′ d’une fonction lorsque cette dérivée existe ?

10. Dans quel ordre faut-il procéder pour étudier les variations de fff à partir de sa dérivée seconde ?

11. Quelle propriété géométrique caractérise une fonction convexe sur un intervalle ?

12. Si une fonction deux fois dérivable vérifie f′′(x)≤0f''(x)\leq0f′′(x)≤0 sur un intervalle, quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

13. Quelle condition caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction en A(a;f(a))A(a;f(a))A(a;f(a)) ?

14. Soit une fonction deux fois dérivable dont la dérivée seconde s’annule en a en changeant de signe ; que peut-on conclure pour A(a;f(a))A(a;f(a))A(a;f(a)) ?

15. Comment se situe la courbe d’une fonction convexe par rapport à ses tangentes sur un intervalle de convexité ?

16. Pour quel énoncé valable pour tout réel x>0x>0x>0 la concavité de la racine carrée conduit-elle ?

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1. Quelle est la dérivée de la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x}$ pour $x>0$ ?

2. Pour la fonction $g(x)=5+x$ , quelle expression donne sa dérivée ?

3. Si $u$ et $v$ sont dérivables et si $v$ ne s’annule pas, quelle formule permet de calculer la dérivée de $\frac{u}{v}$ ?

4. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , comment s’écrit la dérivée de leur somme ?

5. Que peut-on conclure si $f'(x)<0$ sur un intervalle ?

6. Pour $f(x)=x^2-6x+1$ , quel résultat décrit correctement ses variations et son extremum ?

7. Pour une fonction telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ , quelle est l’équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse $2$ ?

8. Si $h(x)=g(u(x))$ , avec $u(x)=x^2+1$ , quelle expression donne correctement la dérivée de $h$ ?

9. Comment définit-on la dérivée seconde $f''$ d’une fonction lorsque cette dérivée existe ?

10. Dans quel ordre faut-il procéder pour étudier les variations de $f$ à partir de sa dérivée seconde ?

12. Si une fonction deux fois dérivable vérifie $f''(x)\leq0$ sur un intervalle, quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

13. Quelle condition caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction en $A(a;f(a))$ ?

14. Soit une fonction deux fois dérivable dont la dérivée seconde s’annule en a en changeant de signe ; que peut-on conclure pour $A(a;f(a))$ ?

16. Pour quel énoncé valable pour tout réel $x>0$ la concavité de la racine carrée conduit-elle ?