Fiche de révision : Électricité en régime sinusoïdal

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs sinusoïdales et déphasage
2. Résistance et équivalents électriques
3. Puissances et énergie électrique
4. Pertes et chute de tension
5. Transformateurs et couplages triphasés
6. Mesures électriques et branchements
7. Compensation de l’énergie réactive

📖 1. Grandeurs sinusoïdales et déphasage

🔑 Notions clés & Définitions

• Période : Durée d’un motif élémentaire d’un signal sinusoïdal, exprimée en secondes.
• Fréquence : Nombre de périodes par seconde, exprimé en hertz.
• Pulsation : Vitesse angulaire d’un signal sinusoïdal, exprimée en radians par seconde.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fréquence et la période sont liées par $f = \frac{1}{T}$.

📐 Formule - La pulsation vérifie $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \frac{2 \cdot \pi}{T}$.

📐 Formule - À partir du décalage temporel $\Delta t$ entre deux signaux de même fréquence, le déphasage en radians vérifie $\varphi = \omega \cdot \Delta t = \frac{2 \cdot \pi \cdot \Delta t}{T}$.

Compléments

📐 Formule - Le déphasage en degrés se calcule par $\varphi_{(\deg)} = \varphi_{(\text{rad})} \cdot \frac{180}{\pi}$.

• Pour un réseau à 50 Hz, la période vaut 0,02 s, soit 20 ms, et la pulsation vaut environ 314,16 rad/s.

📖 2. Résistance et équivalents électriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La résistance d’un conducteur est donnée par $R = \rho \cdot \frac{L}{S}$, où $\rho$ est la résistivité, $L$ la longueur et $S$ la section.

📐 Formule - Pour des résistances en série, la résistance équivalente vaut $R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$.

📐 Formule - Pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente vaut $R_{\text{eq}} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$.

• Une section de 1 mm² équivaut à $10^{-6}$ m² ; ainsi, 2,5 mm² équivalent à $2{,}5 \cdot 10^{-6}$ m².

Compléments

📐 Formule - La réactance d’une bobine d’inductance $L$ vaut $X_L = L \cdot \omega = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L$ et s’exprime en ohms.

• Dans la formule de résistance, $R$ s’exprime en ohms, $\rho$ en $\Omega\cdot\text{m}$, $L$ en mètres et $S$ en mètres carrés.

📖 3. Puissances et énergie électrique

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance active générale vaut $P = U \cdot I \cdot \cos(\varphi)$, et pour une résistance pure $\cos(\varphi)=1$.

📐 Formule - Dans une résistance, la puissance active vaut aussi $P = R \cdot I^2 = \frac{U^2}{R}$.

📐 Formule - L’énergie consommée ou produite vérifie $W = P \cdot t$.

Compléments

• Un condensateur parfait consomme une puissance active de 0 W.

• Une bobine parfaite, dont la résistance interne est négligée, consomme une puissance active de 0 W.

• Avec $P$ en watts et $t$ en secondes, l’énergie $W$ s’exprime en joules.

• Avec $P$ en kilowatts et $t$ en heures, l’énergie $W$ s’exprime en kilowattheures.

📖 4. Pertes et chute de tension

★ À maîtriser

📐 Formule - En monophasé, les pertes Joule valent $P_j = R \cdot I^2$.

📐 Formule - Dans une ligne triphasée équilibrée à trois fils, les pertes Joule valent $P_j = 3 \cdot R_{\text{ligne}} \cdot I_{\text{ligne}}^2$.

📐 Formule - En monophasé, la chute de tension vaut $\Delta U = R \cdot I \cdot \cos(\varphi) + X \cdot I \cdot \sin(\varphi)$.

📐 Formule - En triphasé, la chute de tension vaut $\Delta U = \sqrt{3} \cdot (R \cdot I \cdot \cos(\varphi) + X \cdot I \cdot \sin(\varphi))$.

Compléments

📐 Formule - La chute de tension relative en pourcentage vaut $\Delta U\% = \frac{\Delta U}{U_n} \cdot 100$.

📐 Formule - La tension de court-circuit relative en pourcentage vaut $u_{cc}\% = \frac{U_{cc}}{U_n} \cdot 100$.

• Les pertes Joule d’un transformateur sont la somme des pertes dans ses enroulements primaire et secondaire.

📖 5. Transformateurs et couplages triphasés

🔑 Notions clés & Définitions

• Couplage étoile : Relie les enroulements en un point milieu qui constitue le neutre.
• Couplage triangle : Raccorde les enroulements bout à bout en une boucle fermée.

★ À maîtriser

📐 Formule - En monophasé, la puissance active vaut $P = U \cdot I \cdot \cos(\varphi)$ et la puissance réactive vaut $Q = U \cdot I \cdot \sin(\varphi)$.

📐 Formule - En triphasé équilibré, la puissance active vaut $P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos(\varphi)$ et la puissance réactive vaut $Q = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \sin(\varphi)$.

📐 Formule - La puissance apparente vaut $S = U \cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}$ en monophasé et $S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}$ en triphasé équilibré.

📐 Formule - Le facteur de puissance vaut $F_p = \cos(\varphi) = \frac{P}{S}$ et est sans unité.

📐 Formule - Dans une installation comportant plusieurs récepteurs en parallèle, le théorème de Boucherot donne $P_{\text{totale}} = P_1 + P_2 + \dots + P_n$ et $Q_{\text{totale}} = Q_1 + Q_2 + \dots + Q_n$.

📐 Formule - La puissance apparente totale selon le théorème de Boucherot vaut $S_{\text{totale}} = \sqrt{P_{\text{totale}}^2 + Q_{\text{totale}}^2}$.

📐 Formule - Le rapport de transformation vérifie $m = \frac{U_{20}}{U_{10}} \approx \frac{N_2}{N_1} \approx \frac{I_1}{I_2}$.

📐 Formule - Pour un transformateur monophasé, les courants nominaux valent $I_{1\text{nom}} = \frac{S_n}{U_{1n}}$ et $I_{2\text{nom}} = \frac{S_n}{U_{2n}}$.

📐 Formule - Pour un transformateur triphasé, les courants nominaux valent $I_{1\text{nom}} = \frac{S_n}{\sqrt{3} \cdot U_{1n}}$ et $I_{2\text{nom}} = \frac{S_n}{\sqrt{3} \cdot U_{2n}}$.

• Dans le symbole de couplage Dzn6, $D$ indique un primaire couplé en triangle, $z$ un secondaire couplé en zig-zag et $n$ la présence d’un neutre sorti au secondaire.

Compléments

• Dans le théorème de Boucherot, $Q$ est positive pour une charge inductive et négative pour une charge capacitive.

• L’essai à vide d’un transformateur permet de déterminer les pertes fer, avec $P_f \approx P_{10}$.

• L’essai en charge d’un transformateur permet de déterminer les pertes Joule.

• L’indice horaire 6 correspond à un déphasage de 180°, chaque unité d’indice représentant 30°.

📖 6. Mesures électriques et branchements

★ À maîtriser

• Un voltmètre se branche en dérivation, c’est-à-dire en parallèle, pour mesurer la tension $U$.

• Un ampèremètre se branche en série pour mesurer l’intensité $I$.

Compléments

• Un wattmètre mesure la puissance en combinant les branchements en dérivation et en série.

📖 7. Compensation de l’énergie réactive

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance des condensateurs à installer vaut $Q_c = P \cdot (\tan(\varphi_{\text{initiale}}) - \tan(\varphi_{\text{finale}}))$.

📌 Augmenter le facteur de puissance $\cos(\varphi)$ vers 1 revient à réduire la puissance réactive $Q$ absorbée.

Compléments

• Pour le client, la compensation de l’énergie réactive évite les pénalités sur la facture d’électricité et réduit les pertes thermiques dans les câbles.

• Pour le fournisseur, la compensation de l’énergie réactive libère de la capacité sur le réseau de transport.

💡 Astuce mémo

Réduire Q absorbée → augmenter le facteur de puissance → limiter les pénalités et les pertes.

📊 Tableaux de synthèse

Puissances en monophasé et triphasé