Fiche de révision : Ensembles de nombres et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Les ensembles de nombres
2. Notations et inclusions numériques
3. Opérations sur les fractions
4. Règles sur les puissances
5. Racines carrées

📖 1. Les ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Entiers positifs ou nuls, notés N ou ℕ.
• Entiers relatifs : Entiers positifs ou négatifs, notés Z ou ℤ.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$, ce qui correspond à un nombre ayant un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec a et b entiers et $b \ne 0$; l’ensemble des rationnels est noté Q ou ℚ.
• Nombres réels : Les nombres réels constituent l’ensemble de tous les nombres étudiés dans le cours et sont notés R ou ℝ.
• Nombres irrationnels : Nombres qui ne sont pas rationnels et dont l’écriture décimale est infinie et sans période.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Notations et inclusions numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Réels positifs ou nuls : Ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
• Entiers relatifs non nuls : L’ensemble Z* désigne les entiers relatifs sauf 0.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Compléments

• L’écriture ℕ \ {1,2} désigne l’ensemble des entiers naturels sauf 1 et 2.

• L’écriture Q* est donnée dans le cours pour désigner les rationnels négatifs sauf 0.

💡 Astuce mémo

Les rationnels s’écrivent en fraction, tandis que les irrationnels ne le peuvent pas.

📖 3. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d’abord les mettre au même dénominateur, puis additionner ou soustraire les numérateurs.

• 🔄 Pour multiplier deux fractions:

  1. Décomposer et simplifier si possible
  2. Multiplier les numérateurs entre eux
  3. Multiplier les dénominateurs entre eux

📌 Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde.

Compléments

• L’opération $\frac{4}{3}+\frac{5}{12}$ donne $\frac{21}{12}=\frac{7}{4}$ après mise au même dénominateur et simplification.

💡 Astuce mémo

Additionner : même dénominateur ; multiplier : numérateurs et dénominateurs ; diviser : multiplier par l’inverse.

📖 4. Règles sur les puissances

★ À maîtriser

• Pour tout réel a et tout entier m, le produit de puissances de même base vérifie $a^m \times a^n=a^{m+n}$.

• Pour tout réel a et tous entiers m et n, le quotient de puissances de même base vérifie $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

• Une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

Compléments

📌 Les règles complémentaires sont $a^0=1$, $a^m\times b^m=(ab)^m$ et $\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m$ avec $b\ne0$.

📌 Un exposant négatif vérifie $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$.

• L’expression $\frac{a^2\times a^3}{(a^4)^2}$ se simplifie en $a^{-3}$.

💡 Astuce mémo

Même base : produit → addition, quotient → soustraction, puissance → multiplication.

📖 5. Racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Réel positif dont le carré est égal à x, pour un réel positif x.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un réel positif x, on a $(\sqrt{x})^2=x$.

Compléments

• Les racines carrées des carrés parfaits indiqués sont $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{81}=9$, $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{144}=12$ et $\sqrt{169}=13$.

💡 Astuce mémo

La racine carrée de x est le nombre positif dont le carré reconstruit x.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres