Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Entiers et nombres décimaux
2. Nombres rationnels et réels
3. Intervalles de la droite réelle
4. Intersection et réunion d’ensembles
5. Valeur absolue et propriétés

📖 1. Entiers et nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Entiers positifs ou nuls, notés ℕ, soit 0, 1, 2, 3, … .
• Entiers relatifs : Entiers positifs, négatifs ou nuls, notés ℤ.
• Nombres décimaux : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^p}$, où a est un entier et p un entier positif ou nul ; leur écriture décimale s’arrête.

📝 Points essentiels

• Tous les entiers sont des nombres décimaux.

📖 2. Nombres rationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, où a est un entier, b un entier naturel non nul, et se notent ℚ.
• Nombres réels : Ensemble des abscisses possibles des points d’une droite graduée et se notent ℝ.
• Nombres irrationnels : Nombres réels qui ne peuvent pas s’écrire comme un quotient d’entiers et n’appartiennent donc pas à ℚ.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

• Le nombre $\frac{1}{3}$ est rationnel, mais il n’est pas décimal, car la division de 1 par 3 ne tombe jamais juste.

• Le nombre π est un nombre réel irrationnel.

📖 3. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle est un ensemble de réels défini par une condition portant sur leurs abscisses ; par exemple, les réels x tels que $1 \leq x \leq 5$ forment l’intervalle [1 ; 5].

📝 Points essentiels

• L’intervalle des réels est noté ]−∞ ; +∞[.

• Les symboles +∞ et −∞ ne représentent pas des nombres réels.

📖 4. Intersection et réunion d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection de deux ensembles E et F, notée E ∩ F, est l’ensemble des éléments communs à E et à F.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles, noté E ∪ F.

📝 Points essentiels

• Pour I = ]−∞ ; 3] et J = ]0 ; 4], on a I ∩ J = ]0 ; 3] et I ∪ J = ]−∞ ; 4].

💡 Astuce mémo

Intersection = éléments communs ; réunion = éléments dans au moins un ensemble.

📖 5. Valeur absolue et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Réel positif égal à x si x ≥ 0 et à −x si x ≤ 0.

★ À maîtriser

• Géométriquement, |x| représente la distance entre le point d’abscisse x et l’origine sur une droite graduée.

📌 Pour tout réel positif r, l’équation |x| = r équivaut à x = r ou x = −r.

Compléments

• L’équation |x| = 0 équivaut à x = 0.

• Pour tout réel x, |x| = |−x|.

• Pour tous réels x et y, |x| = |y| équivaut à x = y ou x = −y.

💡 Astuce mémo

Imagine la distance entre le point d’abscisse x et l’origine : elle reste positive, même si x est négatif.