Fiche de révision : Ensembles et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Types et inclusions des nombres
2. Nombres célèbres
3. Propriétés arithmétiques remarquables
4. Techniques de calcul numérique
5. Intervalles de nombres réels
6. Résolution des inéquations

📖 1. Types et inclusions des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : 0, 1, 2, 3, 4, 5, … et leur ensemble est noté ℕ.
• Nombres entiers relatifs : Les nombres entiers relatifs sont les nombres négatifs, nuls ou positifs sans partie décimale, et leur ensemble est noté ℤ.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme le quotient d’un entier par un entier non nul, sous la forme $\frac{a}{b}$ avec a entier et b non nul, et l’ensemble est noté ℚ.
• Nombres irrationnels : un nombre réel qui ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers.
• Nombres réels : Les nombres réels regroupent tous les nombres rationnels et irrationnels et sont représentés par les points d’une droite graduée appelée droite réelle ou droite numérique.

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre les ensembles usuels sont ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, tandis que les irrationnels sont les réels privés des rationnels.

Compléments

• Les exemples donnés montrent que 38 est entier naturel, −127 est entier relatif, 75,41 est décimal rationnel, 5/3 est rationnel, √2 est irrationnel et π est irrationnel.

💡 Astuce mémo

Naturels → entiers → rationnels → réels

📖 2. Nombres célèbres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre π : Le nombre π est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre et sa notation actuelle est attribuée à Euler au XVIIe siècle.

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule d’Euler rassemble cinq nombres célèbres sous la forme $e^{i\pi}+1=0$.

Compléments

• Le nombre 1 est l’unité et constitue notamment une base du langage binaire utilisé par les ordinateurs.

• Le nombre 0 est une base actuelle de la numération et son utilisation est apparue plus tardivement que celle du nombre 1.

• Le nombre d’or φ était utilisé comme critère de beauté en architecture et dans les arts, notamment au Parthénon et à la Renaissance, et il est associé à certaines proportions naturelles.

💡 Astuce mémo

Le cercle de π, le nombre d’or dans le Parthénon et les cinq nombres d’e^{iπ}+1=0

📖 3. Propriétés arithmétiques remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre parfait : Un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs stricts, c’est-à-dire de tous ses diviseurs sauf lui-même.
• Nombre premier : Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1, c’est-à-dire lorsque 1 est leur seul diviseur commun.
• Nombres amis : Deux nombres amis ont chacun pour somme de leurs diviseurs stricts l’autre nombre ; 220 et 284 sont un exemple de nombres amis.

📝 Points essentiels

• Le nombre 6 est parfait car la somme de ses diviseurs stricts 1, 2 et 3 vaut 6.

💡 Astuce mémo

Premier : deux diviseurs ; parfait : somme de ses diviseurs stricts

📖 4. Techniques de calcul numérique

★ À maîtriser

• Pour déterminer la nature d’un nombre, on le reconnaît d’abord comme naturel, entier, rationnel ou irrationnel, puis on utilise les inclusions entre ensembles.

• Les techniques rappelées portent sur:

  • les puissances
  • les fractions
  • les racines carrées
  • l’écriture scientifique

Compléments

• Une écriture scientifique exprime un nombre sous la forme d’un nombre décimal compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10.

📖 5. Intervalles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : L’intervalle fermé [a ; b] est l’ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤ b.
• Intervalle ouvert : L’intervalle ouvert ]a ; b[ est l’ensemble des réels x vérifiant a < x < b.

★ À maîtriser

📌 La réunion A ∪ B signifie qu’un nombre appartient à A ou à B, tandis que l’intersection A ∩ B signifie qu’il appartient à A et à B.

Compléments

📌 Dans un intervalle semi-ouvert, une borne est incluse et l’autre est exclue, comme dans [a ; b[ ou ]a ; b].

📌 Lorsque deux intervalles sont disjoints, leur intersection est l’ensemble vide : [b ; c] ∩ [d ; e] = ∅.

💡 Astuce mémo

Réunion = OU ; intersection = ET

📖 6. Résolution des inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution d’une inéquation : Résoudre une inéquation consiste à trouver tous les nombres réels qui rendent l’inégalité vraie et à écrire leur ensemble sous forme d’intervalle.

★ À maîtriser

• La résolution d’une inéquation consiste à effectuer des transformations équivalentes jusqu’à isoler l’inconnue, puis à exprimer l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

📌 Dans une inéquation, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

Compléments

• L’inéquation 5x + 2 < 7x + 2 est équivalente à x > 0.

📌 L’inéquation 7x + 2 < 7x + 12 est vraie pour tout réel x, car elle se réduit à 0 < 10.

📌 L’inéquation 5(x − 3) > 5x + 4 n’a aucune solution, car elle se réduit à 0 > 19.

💡 Astuce mémo

Transformation de l’inéquation → ensemble des solutions

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres