QCM : Ensembles et inéquations — 17 questions

Explication

Les nombres naturels commencent par $0$ et comprennent les entiers positifs ; ils sont notés $\mathbb{N}$. L’ensemble $\mathbb{Z}$ est plus vaste, car il contient aussi les entiers négatifs.

Explication

Un entier relatif peut être négatif, nul ou positif, mais il ne possède pas de partie décimale. Un entier naturel appartient aussi à cette famille, mais il ne peut pas être négatif.

Explication

$\sqrt{2}$ ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers, ce qui en fait un nombre irrationnel. Les autres nombres peuvent être écrits sous forme de quotient de deux entiers.

Explication

Chaque naturel est un entier relatif, chaque entier relatif est rationnel, et chaque rationnel est réel. Les irrationnels appartiennent aussi aux réels, mais ne font pas partie des rationnels.

Explication

Le nombre $\pi$ est défini comme le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Le nombre d’or correspond à une autre proportion, généralement notée $\varphi$.

Explication

La formule d’Euler s’écrit $e^{i\pi}+1=0$ et associe notamment $e$, $i$, $\pi$, $1$ et $0$. Les autres égalités modifient les exposants ou les termes de cette relation remarquable.

Explication

Un nombre parfait est égal à la somme de tous ses diviseurs sauf lui-même. La deuxième description concerne un nombre premier, tandis que la dernière caractérise des nombres amis.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même ; or $1$ n’a qu’un seul diviseur. Le nombre $2$ constitue au contraire un exemple de nombre premier.

Explication

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur plus grand commun diviseur vaut $1$, ce qui signifie que $1$ est leur seul diviseur commun. Cette propriété ne dépend ni de leur primalité individuelle ni de la relation entre leur somme et leur produit.

Explication

La nature d’un nombre se détermine en l’identifiant parmi les naturels, entiers, rationnels ou irrationnels, puis en s’appuyant sur les inclusions entre ces ensembles. Le signe ou l’écriture scientifique ne suffit pas à établir cette classification.

Explication

Les techniques concernées portent sur les puissances, les fractions, les racines carrées et l’écriture scientifique. Les autres familles correspondent à d’autres domaines des mathématiques.

Explication

Un intervalle fermé contient les deux bornes, ce qui se traduit par $a \leq x \leq b$. La condition $a < x < b$ décrit l’intervalle ouvert, qui exclut les bornes.

Explication

L’intervalle ouvert contient les réels strictement compris entre $a$ et $b$, donc il vérifie $a < x < b$. Les bornes sont exclues, contrairement à l’intervalle fermé.

Explication

L’intersection $A \cap B$ regroupe les nombres communs aux deux ensembles : le nombre doit appartenir à $A$ et à $B$. La condition « dans $A$ ou dans $B$ » correspond à la réunion $A \cup B$.

Explication

Résoudre une inéquation consiste à déterminer tous les nombres réels pour lesquels l’inégalité est vraie, puis à exprimer cet ensemble sous forme d’intervalle. Chercher une valeur annulant les membres relève plutôt de la résolution d’une équation.

Explication

La multiplication ou la division par un nombre négatif inverse l’ordre des nombres, donc le sens de l’inégalité doit être changé. Conserver le signe conduirait à un ensemble de solutions incorrect.

Explication

En soustrayant $7x+2$ aux deux membres, on obtient $0<10$, qui est vraie pour tout réel $x$. L’inéquation possède donc tous les réels comme solutions, et non un intervalle limité par une valeur de $x$.