QCM : Trigonométrie et angles associés — 4 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour tout réel xx, quelle relation décrit le sinus et le cosinus de l’angle opposé −x-x ?

sin⁡(−x)=cos⁡x\sin(-x)=\cos x et cos⁡(−x)=sin⁡x\cos(-x)=\sin x
sin⁡(−x)=sin⁡x\sin(-x)=\sin x et cos⁡(−x)=−cos⁡x\cos(-x)=-\cos x
sin⁡(−x)=−cos⁡x\sin(-x)=-\cos x et cos⁡(−x)=−sin⁡x\cos(-x)=-\sin x
sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x et cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x

$$\sin(-x)=-\sin x$$ et $$\cos(-x)=\cos x$$

Explication

Le sinus est une fonction impaire, tandis que le cosinus est une fonction paire : le premier change de signe et le second conserve sa valeur pour l’angle opposé. La confusion fréquente consiste à attribuer au cosinus le changement de signe propre au sinus.

2. Quelle transformation obtient-on pour cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) et sin⁡(π2+x)\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) ?

cos⁡(π2+x)=cos⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x et sin⁡(π2+x)=sin⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin x
cos⁡(π2+x)=sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin x et sin⁡(π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cos x
cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x et sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x
cos⁡(π2+x)=−cos⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cos x et sin⁡(π2+x)=−sin⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$$ et $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$

Explication

Un décalage de π2\frac{\pi}{2} transforme le cosinus en l’opposé du sinus et le sinus en cosinus. L’erreur la plus plausible est d’oublier le signe négatif qui accompagne la transformation du cosinus.

3. Quelle démarche permet d’obtenir la solution générale d’une équation trigonométrique ?

Repérer les angles dans un intervalle, puis conserver ces valeurs sans période
Calculer deux angles associés, puis ajouter kπ2k\frac{\pi}{2} avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
Déterminer les deux angles associés sur le cercle, puis ajouter 2kπ2k\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}
Trouver un angle sur le cercle, puis ajouter kπk\pi avec k∈Zk\in\mathbb{Z}

Déterminer les deux angles associés sur le cercle, puis ajouter $$2k\pi$$ avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Explication

La résolution générale repose sur les deux angles associés représentés sur le cercle trigonométrique et sur la périodicité de période 2π2\pi. Les seules valeurs repérées sur un intervalle donné ne constituent pas toutes les solutions réelles.

4. Quelle équation trigonométrique correspond à l’exercice proposé à résoudre dans R\mathbb{R} ?

cos⁡x=−12\cos x=-\frac{1}{2}
cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2}
sin⁡x=32\sin x=\frac{3}{2}
sin⁡x=−12\sin x=-\frac{1}{2}

$$\cos x=-\frac{1}{2}$$

Explication

L’exercice demande de résoudre dans R\mathbb{R} l’équation dont le cosinus vaut −12-\frac{1}{2}. Les autres propositions modifient soit la valeur numérique, soit la fonction trigonométrique concernée.

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Mémorisez les réponses avec 8 flashcards sur Trigonométrie et angles associés.

Quelle est la valeur de sin⁡(−x)\sin(-x) pour tout réel xx ?

sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x.

Quelle est la valeur de cos⁡(−x)\cos(-x) pour tout réel xx ?

cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x.

Que vaut cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) pour tout réel xx ?

cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x.

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