Fiche de révision : Fonctions et variations

📋 Plan du Cours

1. Propriétés des fonctions usuelles
2. Comparer puissances et valeurs
3. Extremums et tableaux de variation
4. Monotonie d’une fonction

📖 1. Propriétés des fonctions usuelles

★ À maîtriser

• Pour tout réel x, $x^2 \geq 0$ et la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Pour tous réels a et b, $a < b \iff a^3 < b^3$.

• Pour deux réels non nuls a et b de même signe, $a < b \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

• Pour tous a et b positifs ou nuls, $a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$, et $\sqrt{x} \geq 0$ pour tout x positif ou nul.

Compléments

📌 Pour tous réels a et b, si $0 \leq a < b$, alors $a^2 < b^2$, tandis que si $a < b \leq 0$, alors $a^2 > b^2$.

• Pour tout réel non nul x, $\frac{1}{x}$ est du signe de x et la courbe de la fonction inverse admet l’origine du repère comme centre de symétrie.

📖 2. Comparer puissances et valeurs

★ À maîtriser

📌 Si $a>1$, alors $1<a<a^2<a^3$.

Compléments

📌 Si a vaut 0 ou 1, alors $a=a^2=a^3$.

💡 Astuce mémo

Au-dessus de 1, les puissances grandissent ; entre 0 et 1, leur ordre s’inverse.

📖 3. Extremums et tableaux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Maximum ou minimum d’une fonction.
• Maximum : Une fonction f admet un maximum M en x=a sur un intervalle si, pour tout x de cet intervalle, $f(x) \leq f(a)=M$.
• Minimum : Une fonction f admet un minimum m en x=b sur un intervalle si, pour tout x de cet intervalle, $f(x) \geq f(b)=m$.
• Tableau de variation : Résumé des variations d’une fonction qui fait apparaître les intervalles où elle est monotone.

📝 Points essentiels

• Pour la fonction représentée dans l’exemple, le domaine est $[-4;6]$ ; elle décroît sur $[-4;-2]$, croît sur $[-2;0]$ puis décroît sur $[0;6]$, avec un minimum de −1 en x=−2 et un maximum de 3 en x=0.

📖 4. Monotonie d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Fonction telle que, pour tous a et b de l’intervalle, si a < b, alors f(a) < f(b).
• Fonction décroissante : Fonction telle que, pour tous a et b de l’intervalle, si a < b, alors f(a) > f(b).
• Fonction monotone : Fonction qui est croissante ou décroissante sur un intervalle.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction constante, f(a)=f(b) pour tous a et b de son intervalle.

💡 Astuce mémo

Croissante : les images montent ; décroissante : elles descendent.