Fiche de révision : Fonctions polynômes de degré 3

📋 Plan du Cours

1. Règles de dérivation
2. Dériver un polynôme terme à terme
3. Étudier le signe de la dérivée
4. Dresser le tableau de variations
5. Compter les solutions d’une équation
6. Repérer les extremums locaux

📖 1. Règles de dérivation

★ À maîtriser

📐 Formule - La dérivée d’une constante $f(x)=k$ est $f'(x)=0$ sur $\mathbb{R}$.

📐 Formule - La dérivée de $f(x)=x$ est $f'(x)=1$ sur $\mathbb{R}$.

• La dérivée d’une somme $u+v$ est $u'+v'$.

Compléments

• La dérivée d’un multiple $ku$, avec $k\in\mathbb{R}$, est $ku'$.

📖 2. Dériver un polynôme terme à terme

★ À maîtriser

• Pour dériver un polynôme écrit comme une somme de termes, on dérive chaque terme séparément puis on additionne les dérivées obtenues.

Compléments

• Dans l’exemple, la dérivée de $2{,}2x^3$ est $6{,}6x^2$, celle de $-4x^2$ est $-8x$, celle de $27x$ est $27$ et celle de la constante $12$ est $0$.

📖 3. Étudier le signe de la dérivée

★ À maîtriser

• Pour établir le signe de la dérivée, on résout $f'(x)=0$, puis on détermine le signe de $f'$ sur chaque intervalle délimité par ses racines, par calcul d’une valeur test ou à l’aide d’un graphique.

Compléments

• Sur l’intervalle $[-2;9]$ de l’exemple, la dérivée s’annule approximativement en $0{,}76$ et $5{,}24$.

• Dans l’exemple, le signe de $f'$ est positif sur $[-2;0{,}76]$, négatif sur $[0{,}76;5{,}24]$ et positif sur $[5{,}24;9]$.

💡 Astuce mémo

Zéros de la dérivée, signe sur chaque intervalle, tableau de signe.

📖 4. Dresser le tableau de variations

★ À maîtriser

📌 Si $f'(x)>0$ sur un intervalle, alors $f$ y est croissante ; si $f'(x)<0$, alors $f$ y est décroissante.

Compléments

• Pour compléter un tableau de variations, on reprend les bornes et les zéros de la dérivée, puis on calcule les valeurs de la fonction en ces points.

• Dans l’exemple, $f$ est croissante sur $[-2;0{,}76]$, décroissante sur $[0{,}76;5{,}24]$ puis croissante sur $[5{,}24;9]$.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive : la fonction monte ; dérivée négative : elle descend.

📖 5. Compter les solutions d’une équation

★ À maîtriser

• Pour déterminer le nombre de solutions de $f(x)=c$ à partir du tableau de variations, on vérifie sur chaque intervalle si $c$ est compris entre les valeurs de $f$ aux bornes ; chaque intervalle concerné contient une solution dans l’exemple.

Compléments

• Dans l’exemple, l’équation $f(x)=50$ n’a pas de solution sur $[-2;0{,}76]$ ni sur $[0{,}76;5{,}24]$, mais en a une sur $[5{,}24;9]$, soit une solution sur $[-2;9]$.

• Dans l’exemple, les valeurs de $f$ aux points successifs du tableau sont $f(-2)=-59$, $f(0{,}76)=13{,}36$, $f(5{,}24)=-31{,}36$ et $f(9)=117$.

📖 6. Repérer les extremums locaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum local : Maximum ou minimum repéré à partir de l’évolution de la fonction dans son tableau de variations.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple, $f$ admet un maximum local au point $(0{,}76;13{,}36)$ et un minimum local au point $(5{,}24;-31{,}36)$.