QCM : Fonctions polynômes de degré 3 (13 questions)

Question 1

1. Si une fonction s’écrit comme la somme de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , quelle règle permet de calculer sa dérivée ?

La dérivée de la somme est le produit des dérivées, soit

u'v'

.

La dérivée de la somme est la somme des fonctions, soit

u+v

.

La dérivée de la somme est la différence des dérivées, soit

u'-v'

.

La dérivée de la somme est la somme des dérivées, soit

u'+v'

.

Explication

La dérivation est linéaire par rapport à l’addition : la dérivée de $u+v$ vaut $u'+v'$ . Le produit $u'v'$ correspond à une règle erronée, et non à la dérivation d’une somme.

Answer

La dérivée de la somme est la somme des dérivées, soit $$u'+v'$$.

Question 2

2. Pour la fonction constante $f(x)=7$ définie sur $\mathbb{R}$ , quelle est la valeur de $f'(x)$ ?

f'(x)=1

sur

\mathbb{R}

.

f'(x)=7

sur

\mathbb{R}

.

f'(x)=x

sur

\mathbb{R}

.

f'(x)=0

sur

\mathbb{R}

.

Explication

Une fonction constante ne varie pas lorsque $x$ change, donc sa dérivée est nulle sur $\mathbb{R}$ . La valeur de la constante est celle de la fonction, pas celle de sa dérivée.

Answer

$$f'(x)=0$$ sur $$\mathbb{R}$$.

Question 3

3. Si $g$ est dérivable et $h(x)=-3g(x)$ , quelle expression donne la dérivée de $h$ ?

h'(x)=-3g(x)

.

h'(x)=3g'(x)

.

h'(x)=g'(x)-3

.

h'(x)=-3g'(x)

.

Explication

La dérivée d’un multiple $ku$ s’obtient en multipliant la dérivée de $u$ par la constante, d’où $h'=-3g'$ . L’expression $-3g(x)$ est la fonction initiale, et non sa dérivée.

Answer

$$h'(x)=-3g'(x)$$.

Question 4

4. Pour dériver un polynôme présenté comme une somme de plusieurs termes, quelle méthode faut-il appliquer ?

Additionner d’abord les exposants, puis dériver le polynôme comme un seul terme.

Dériver chaque terme séparément, puis multiplier les dérivées obtenues.

Dériver chaque terme séparément, puis additionner les dérivées obtenues.

Dériver seulement le terme de plus haut degré, puis conserver les autres termes.

Explication

La dérivation d’un polynôme somme se fait terme à terme, puis les dérivées de ces termes sont additionnées. Multiplier les dérivées obtenues ne respecte pas la règle de dérivation d’une somme.

Answer

Dériver chaque terme séparément, puis additionner les dérivées obtenues.

Question 5

5. En dérivant terme à terme $2{,}2x^3-4x^2+27x+12$ , quelle dérivée obtient-on ?

2{,}2x^2-8x+27

.

6{,}6x^2+8x+27

.

6{,}6x^2-4x+27+12

.

6{,}6x^2-8x+27

.

Explication

Les termes donnent respectivement $6{,}6x^2$ , $-8x$ , $27$ et $0$ , car la dérivée de la constante est nulle. Conserver $12$ dans la dérivée revient à ne pas dériver correctement le terme constant.

Answer

$$6{,}6x^2-8x+27$$.

Question 6

6. Quelle démarche permet d’établir le signe de $f'$ sur les intervalles d’étude ?

Résoudre

f(x)=0

, puis déduire directement le signe de

f'

entre les racines à l’aide d’une valeur test.

Étudier le signe de

f

à l’aide d’une valeur test, puis utiliser ce signe comme celui de

f'

.

Résoudre

f'(x)=0

, puis déterminer le signe de

f'

entre les racines à l’aide d’une valeur test ou d’un graphique.

Calculer les racines de

f'

, puis attribuer le même signe à

f'

sur chacun des intervalles délimités.

Explication

Les racines de $f'$ délimitent les intervalles où son signe doit être étudié, par exemple avec une valeur test ou un graphique. Résoudre $f(x)=0$ repère les zéros de la fonction, qui ne déterminent pas à eux seuls les changements de signe de sa dérivée.

Answer

Résoudre $$f'(x)=0$$, puis déterminer le signe de $$f'$$ entre les racines à l’aide d’une valeur test ou d’un graphique.

Question 7

7. Dans un tableau de signes sur $[-2;9]$ , quelle succession de signes de $f'$ faut-il retenir pour les intervalles délimités par $0{,}76$ et $5{,}24$ ?

Positif sur

[-2;0{,}76]

, négatif sur

[0{,}76;5{,}24]

, puis positif sur

[5{,}24;9]

.

Positif sur

[-2;0{,}76]

, négatif sur

[0{,}76;5{,}24]

, puis négatif sur

[5{,}24;9]

.

Négatif sur

[-2;0{,}76]

, négatif sur

[0{,}76;5{,}24]

, puis positif sur

[5{,}24;9]

.

Négatif sur

[-2;0{,}76]

, positif sur

[0{,}76;5{,}24]

, puis négatif sur

[5{,}24;9]

.

Explication

Le signe de la dérivée est positif avant la première racine, négatif entre les deux racines, puis positif après la seconde. Une alternance inverse de ces signes ne correspond pas à cette succession.

Answer

Positif sur $$[-2;0{,}76]$$, négatif sur $$[0{,}76;5{,}24]$$, puis positif sur $$[5{,}24;9]$$.

Question 8

8. Sur un intervalle, que peut-on conclure si la dérivée d’une fonction est strictement négative en tout point ?

La fonction y est croissante.

La fonction y est décroissante.

La fonction y est constante.

La fonction y atteint un maximum local.

Explication

Une dérivée strictement négative sur un intervalle indique que la fonction y est décroissante. Une dérivée positive indiquerait au contraire une fonction croissante.

Answer

La fonction y est décroissante.

Question 9

9. Pour compléter un tableau de variations à partir de la dérivée, quelles informations faut-il d’abord repérer puis calculer ?

Les extrema de la fonction, puis les dérivées aux points où ils sont atteints.

Les bornes et les zéros de la dérivée, puis les valeurs de la fonction en ces points.

Les signes de la fonction, puis ses limites en des points choisis au hasard.

Les bornes et les zéros de la fonction, puis les valeurs de la dérivée en ces points.

Explication

On inscrit les bornes de l’intervalle et les zéros de la dérivée, puis on calcule les valeurs de la fonction en ces points. Repérer les zéros de la fonction ne fournit pas les points nécessaires au tableau de variations.

Answer

Les bornes et les zéros de la dérivée, puis les valeurs de la fonction en ces points.

Question 10

10. Pour compter les solutions de $f(x)=c$ à l’aide d’un tableau de variations, quelle vérification faut-il effectuer sur chaque intervalle ?

Vérifier si

c

est compris entre les valeurs de

f

aux bornes de l’intervalle.

Vérifier si la dérivée s’annule aux deux bornes de l’intervalle.

Vérifier si

c

est égal à la valeur de

f

en une borne de l’intervalle.

Vérifier si les valeurs de

f

aux bornes ont le même signe.

Explication

Sur chaque intervalle, on compare $c$ aux valeurs de la fonction aux bornes pour déterminer si la fonction prend cette valeur. La seule annulation de la dérivée aux bornes ne permet pas de compter les solutions de l’équation.

Answer

Vérifier si $$c$$ est compris entre les valeurs de $$f$$ aux bornes de l’intervalle.

Question 11

11. Dans l’exemple, combien de solutions l’équation $f(x)=50$ possède-t-elle sur $[-2;9]$ ?

Elle possède une solution, située sur

[0{,}76;5{,}24]

.

Elle possède trois solutions, une sur chacun des intervalles du tableau.

Elle possède une solution, située sur

[5{,}24;9]

.

Elle possède deux solutions, situées sur

[-2;0{,}76]

et

[5{,}24;9]

.

Explication

La valeur 50 n’est atteinte que sur l’intervalle $[5{,}24;9]$ , donc l’équation possède une solution sur $[-2;9]$ . L’intervalle $[-2;0{,}76]$ ne contient pas de solution, car 50 n’est pas compris entre les valeurs de la fonction à ses bornes.

Answer

Elle possède une solution, située sur $$[5{,}24;9]$$.

Question 12

12. Qu’est-ce qui caractérise un extremum local d’une fonction ?

C’est une valeur où la fonction s’annule et change nécessairement de signe.

C’est un maximum ou un minimum que l’on repère à partir de l’évolution de la fonction dans son tableau de variations.

C’est une valeur obtenue lorsque la dérivée est positive sur tout le domaine.

C’est une borne du domaine où la fonction prend sa plus grande valeur globale.

Explication

Un extremum local correspond à un maximum ou à un minimum repérable grâce aux variations de la fonction. Une valeur où la fonction s’annule n’est pas nécessairement un extremum.

Answer

C’est un maximum ou un minimum que l’on repère à partir de l’évolution de la fonction dans son tableau de variations.

Question 13

13. Dans l’exemple, quel point correspond au minimum local de $f$ ?

Le point

(5{,}24;-31{,}36)

.

Le point

(9;117)

.

Le point

(-2;-59)

.

Le point

(0{,}76;13{,}36)

.

Explication

Le minimum local de l’exemple est atteint au point $(5{,}24;-31{,}36)$ . Le point $(0{,}76;13{,}36)$ correspond au maximum local.

Answer

Le point $$(5{,}24;-31{,}36)$$.

QCM : Fonctions polynômes de degré 3 (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si une fonction s’écrit comme la somme de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , quelle règle permet de calculer sa dérivée ?

2. Pour la fonction constante $f(x)=7$ définie sur $\mathbb{R}$ , quelle est la valeur de $f'(x)$ ?

3. Si $g$ est dérivable et $h(x)=-3g(x)$ , quelle expression donne la dérivée de $h$ ?

4. Pour dériver un polynôme présenté comme une somme de plusieurs termes, quelle méthode faut-il appliquer ?

5. En dérivant terme à terme $2{,}2x^3-4x^2+27x+12$ , quelle dérivée obtient-on ?

6. Quelle démarche permet d’établir le signe de $f'$ sur les intervalles d’étude ?

7. Dans un tableau de signes sur $[-2;9]$ , quelle succession de signes de $f'$ faut-il retenir pour les intervalles délimités par $0{,}76$ et $5{,}24$ ?

8. Sur un intervalle, que peut-on conclure si la dérivée d’une fonction est strictement négative en tout point ?

9. Pour compléter un tableau de variations à partir de la dérivée, quelles informations faut-il d’abord repérer puis calculer ?

10. Pour compter les solutions de $f(x)=c$ à l’aide d’un tableau de variations, quelle vérification faut-il effectuer sur chaque intervalle ?

11. Dans l’exemple, combien de solutions l’équation $f(x)=50$ possède-t-elle sur $[-2;9]$ ?

12. Qu’est-ce qui caractérise un extremum local d’une fonction ?

13. Dans l’exemple, quel point correspond au minimum local de $f$ ?

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QCM : Fonctions polynômes de degré 3 (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si une fonction s’écrit comme la somme de deux fonctions dérivables uuu et vvv, quelle règle permet de calculer sa dérivée ?

2. Pour la fonction constante f(x)=7f(x)=7f(x)=7 définie sur R\mathbb{R}R, quelle est la valeur de f′(x)f'(x)f′(x) ?

3. Si ggg est dérivable et h(x)=−3g(x)h(x)=-3g(x)h(x)=−3g(x), quelle expression donne la dérivée de hhh ?

4. Pour dériver un polynôme présenté comme une somme de plusieurs termes, quelle méthode faut-il appliquer ?

5. En dérivant terme à terme 2,2x3−4x2+27x+122{,}2x^3-4x^2+27x+122,2x3−4x2+27x+12, quelle dérivée obtient-on ?

6. Quelle démarche permet d’établir le signe de f′f'f′ sur les intervalles d’étude ?

7. Dans un tableau de signes sur [−2;9][-2;9][−2;9], quelle succession de signes de f′f'f′ faut-il retenir pour les intervalles délimités par 0,760{,}760,76 et 5,245{,}245,24 ?

8. Sur un intervalle, que peut-on conclure si la dérivée d’une fonction est strictement négative en tout point ?

9. Pour compléter un tableau de variations à partir de la dérivée, quelles informations faut-il d’abord repérer puis calculer ?

10. Pour compter les solutions de f(x)=cf(x)=cf(x)=c à l’aide d’un tableau de variations, quelle vérification faut-il effectuer sur chaque intervalle ?

11. Dans l’exemple, combien de solutions l’équation f(x)=50f(x)=50f(x)=50 possède-t-elle sur [−2;9][-2;9][−2;9] ?

12. Qu’est-ce qui caractérise un extremum local d’une fonction ?

13. Dans l’exemple, quel point correspond au minimum local de fff ?

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1. Si une fonction s’écrit comme la somme de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , quelle règle permet de calculer sa dérivée ?

2. Pour la fonction constante $f(x)=7$ définie sur $\mathbb{R}$ , quelle est la valeur de $f'(x)$ ?

3. Si $g$ est dérivable et $h(x)=-3g(x)$ , quelle expression donne la dérivée de $h$ ?

5. En dérivant terme à terme $2{,}2x^3-4x^2+27x+12$ , quelle dérivée obtient-on ?

6. Quelle démarche permet d’établir le signe de $f'$ sur les intervalles d’étude ?

7. Dans un tableau de signes sur $[-2;9]$ , quelle succession de signes de $f'$ faut-il retenir pour les intervalles délimités par $0{,}76$ et $5{,}24$ ?

10. Pour compter les solutions de $f(x)=c$ à l’aide d’un tableau de variations, quelle vérification faut-il effectuer sur chaque intervalle ?

11. Dans l’exemple, combien de solutions l’équation $f(x)=50$ possède-t-elle sur $[-2;9]$ ?

13. Dans l’exemple, quel point correspond au minimum local de $f$ ?