Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Résolution des inéquations produits
2. Étude d’une fonction hauteur
3. Les trois formes du polynôme
4. Lecture et exploitation de la parabole

📖 1. Résolution des inéquations produits

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation produit, on détermine les zéros des facteurs, on construit leurs tableaux de signes, puis on retient les intervalles où le produit possède le signe demandé.

• L’inéquation $x^2-4>0$ se factorise en $(x-2)(x+2)>0$ et a pour ensemble solution $\mathcal{G}=]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$.

Compléments

• Pour le produit $(-x+3)(7x-14)$, les zéros sont 3 et 2, et le produit est positif sur l’intervalle $]2;3[$.

💡 Astuce mémo

Zéros → signes des facteurs → signe du produit → ensemble solution

📖 2. Étude d’une fonction hauteur

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction hauteur s’écrit $h(x)=6{,}05-0{,}05(x-9)^2=-0{,}05x^2+0{,}9x+2$.

📌 Comme $(x-9)^2\geqslant0$, on a $-0{,}05(x-9)^2\leqslant0$, donc la hauteur maximale vaut 6,05 m.

• La longueur du déplacement est déterminée lorsque le poids touche le sol, c’est-à-dire lorsque $h(x)=0$.

Compléments

• La résolution de $h(x)=0$ donne les solutions $x=2$ et $x=20$; dans la situation étudiée, la longueur retenue est $20$.

💡 Astuce mémo

Carré positif → terme négatif maximal en zéro → hauteur maximale

📖 3. Les trois formes du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : La forme développée d’un polynôme du second degré est $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📝 Points essentiels

• Dans $f(x)=2x-3x^2-1$, la forme développée donne $a=-3$, $b=2$ et $c=-1$.

• Dans $f(x)=4(x-3)(x+2)$, la forme factorisée donne $a=4$, $x_1=3$ et $x_2=-2$.

• L’expression $6(x+1)(4-x)$ se réécrit $-6(x+1)(x-4)$, donc ses racines sont −1 et 4 et son coefficient a vaut −6.

💡 Astuce mémo

Développée pour calculer, factorisée pour résoudre, canonique pour l’extremum

📖 4. Lecture et exploitation de la parabole

📝 Points essentiels

📌 La forme développée est adaptée au calcul de $f(0)$ et à la résolution de $f(x)=9$, la forme factorisée à la résolution de $f(x)=0$, et la forme canonique à la détermination de l’extremum et du sens de variation.

• Pour une fonction sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, l’image de 0 est $f(0)=c$.

• Pour résoudre $f(x)=0$ lorsque $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, on utilise le produit nul et l’on obtient $x=x_1$ ou $x=x_2$.

📌 Si la parabole est orientée vers le bas, alors son coefficient $a$ est négatif.

📊 Tableaux de synthèse

Formes et utilisations