Fiche de révision : Fonctions réelles et polynômes

📋 Plan du Cours

1. Définition et domaine des fonctions
2. Bornes et monotonie des fonctions
3. Composition et domaine composé
4. Fonctions réciproques
5. Polynômes, racines et factorisation
6. Fonctions puissances et exponentielles
7. Définitions de l’exponentielle et du logarithme
8. Définitions des limites
9. Limites usuelles et opérations
10. Comparaison et composition des limites
11. Croissances comparées
12. Continuité des fonctions
13. Valeurs intermédiaires et unicité
14. Taux d’accroissement et dérivabilité
15. Dérivées usuelles et opérations
16. Dérivation et calcul de limites
17. Tangente et sens de variation
18. Dérivées successives et étude

📖 1. Définition et domaine des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction est définie par un ensemble de départ D, un ensemble d’arrivée A et l’association à chaque x de D d’une valeur f(x) appartenant à A.
• Fonction numérique : Une fonction numérique de variable réelle associe à chaque élément d’un sous-ensemble D de ℝ une valeur réelle.
• Ensemble de définition : Le plus grand ensemble de réels pour lequel f(x) a un sens.
• Graphe : L’ensemble des couples (x, f(x)) tels que x appartient à D_f.

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble de départ spécifié d’une fonction peut être plus petit que l’ensemble de définition de son expression ; s’il n’est pas spécifié, on prend par défaut l’ensemble de définition.

• Pour f(x)=x², l’ensemble de définition est ℝ ; pour f(x)=1/(x+2), il est ℝ{-2} ; pour f(x)=√x+1, il est [0,+∞[.

📖 2. Bornes et monotonie des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction majorée : Une fonction f est majorée par M si f(x)≤M pour tout x∈D_f.
• Fonction minorée : Une fonction f est minorée par m si f(x)≥m pour tout x∈D_f.
• Fonction bornée : Une fonction est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur I si x≤y entraîne f(x)≤f(y) pour tous x,y∈I.
• Fonction décroissante : Une fonction f est décroissante sur I si x≤y entraîne f(x)≥f(y) pour tous x,y∈I.
• Fonction monotone : Une fonction est monotone si elle est croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

📌 Un majorant ou un minorant n’est pas nécessairement une valeur prise par la fonction ; par exemple, x² est minorée à la fois par 0 et par −1.

• La fonction f(x)=x définie sur ℝ n’est ni majorée ni minorée.

• Le tableau de variations met en évidence les intervalles où une fonction est croissante ou décroissante et les éventuelles bornes de ses valeurs.

📌 La somme de deux fonctions croissantes est croissante, et la somme de deux fonctions décroissantes est décroissante.

💡 Astuce mémo

Croissante : l’ordre des x conserve celui des f(x) ; décroissante : il s’inverse.

📖 3. Composition et domaine composé

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : Pour f:D_f→ℝ et g:D_g→ℝ, la composée f∘g est définie par (f∘g)(x)=f(g(x)) sur l’ensemble des x∈D_g tels que g(x)∈D_f.

★ À maîtriser

📌 Le domaine de f∘g est l’ensemble des x∈D_g tels que g(x)∈D_f ; il se détermine à partir de l’expression non simplifiée f(g(x)).

📌 Une expression simplifiée de f(g(x)) peut avoir un domaine plus grand que celui de la composée initiale, car la simplification ne supprime pas les restrictions d’origine.

Compléments

• Si f(x)=1/(x+1) et g(x)=√x, alors f∘g(x)=1/(√x+1) est définie sur [0,+∞[, tandis que g∘f(x)=1/√(x+1) est définie sur ]−1,+∞[.

• Pour f(x)=x³ et g(x)=1/x², les deux composées f∘g et g∘f valent 1/x⁶ et sont définies sur ℝ{0}.

📖 4. Fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réciproque : Une fonction g est la réciproque de f, notée f⁻¹, lorsque les domaines et images se correspondent et que g∘f et f∘g sont chacune l’identité sur leurs domaines respectifs.

★ À maîtriser

📌 Une fonction f admet une réciproque si et seulement si, pour chaque y∈f(D_f), l’équation f(x)=y possède une unique solution x∈D_f.

Compléments

• La fonction f(x)=x² définie sur ℝ₊ admet pour réciproque f⁻¹(x)=√x, tandis que x² définie sur ℝ n’en admet pas car 4 possède deux antécédents, 2 et −2.

• Pour f(x)=4x+1 sur ℝ, la réciproque est f⁻¹(y)=(y−1)/4 sur ℝ.

• Les graphes d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

💡 Astuce mémo

La réciproque échange les rôles : f envoie x vers y, f⁻¹ renvoie y vers x.

📖 5. Polynômes, racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Un polynôme est une fonction P:ℝ→ℝ de la forme P(x)=a₀+a₁x+⋯+a_dx^d, avec a_d≠0 si d>0 ; d est son degré.
• Racine d’un polynôme : Un réel x₀ est une racine, ou un zéro, d’un polynôme P si P(x₀)=0.
• Factorisation polynomiale : Factoriser un polynôme de degré positif consiste à l’écrire comme produit de facteurs polynomiaux de degré 1 ou de degré 2 sans racine réelle ; tout polynôme de degré positif admet une telle factorisation.

★ À maîtriser

📌 Deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont le même degré et les coefficients correspondants égaux.

📌 Si x₀ est une racine d’un polynôme P de degré d>0, alors P(x)=(x−x₀)Q(x) pour un polynôme Q de degré d−1.

Compléments

• Un polynôme de degré d>0 possède au plus d racines réelles.

• Le polynôme x²−5x+6 se factorise en (x−2)(x−3) et possède les racines 2 et 3.

• Le polynôme x³+x²+x+1 se factorise en (x+1)(x²+1) et possède pour unique racine réelle −1.

📖 6. Fonctions puissances et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance : Pour b∈ℝ, la fonction puissance f_b est définie sur ]0,+∞[ par f_b(x)=x^b.
• Fonction exponentielle de base a : Pour a>0, la fonction exponentielle de base a est g_a:ℝ→ℝ définie par g_a(x)=a^x.

★ À maîtriser

• Pour x>0, x^b>0 ; si b>0, la fonction puissance x↦x^b est strictement croissante sur ]0,+∞[, et si b<0 elle y est strictement décroissante.

• Pour a>0 et x∈ℝ, a^x>0 ; si a>1, la fonction x↦a^x est strictement croissante sur ℝ.

📐 Formule - Pour tout $a,b>0$ et $x,y\in\mathbb{R}$, $a^{x+y}=a^x a^y$.

• Pour $a>0$, la fonction $x\mapsto a^x$ est strictement croissante si $a>1$ et strictement décroissante si $0<a<1$ ; si $a=1$, elle est constante égale à 1.

Compléments

• Pour a,d∈ℝ et b,c∈ℕ, les règles de puissances incluent (a^b)^c=a^{bc}, a^ba^c=a^{b+c}, (ad)^c=a^cd^c, a¹=a et a⁰=1.

• Pour n∈ℕ, x^n peut être défini sur ℝ tout entier comme le produit de n facteurs égaux à x.

📐 Formule - Pour c réel et x>0, $x^{-c}=\frac{1}{x^c}$.

📐 Formule - Pour c réel non nul, la fonction puissance d’exposant 1/c est la réciproque de celle d’exposant c ; en particulier, $x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$ pour n entier naturel.

• La racine carrée est définie pour x∈[0,+∞[, la racine cubique pour x∈ℝ, et x^−1/2=1/√x pour x∈]0,+∞[.

📐 Formule - Pour a,b>0 et x,y∈ℝ, les règles incluent $a^{-x}=\frac{1}{a^x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x$, $(a^x)^y=a^{xy}=(a^y)^x$ et $(ab)^x=a^xb^x$.

📖 7. Définitions de l’exponentielle et du logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est la fonction $\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $\exp(x)=e^x$.
• Fonction logarithme : La fonction logarithme $\log:]0,+\infty[\to\mathbb{R}$ est la réciproque de la fonction exponentielle.
• Nombre d’Euler : Le nombre d’Euler $e$ est une constante approximativement égale à 2,718, qui peut être définie par les limites $e=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ ou $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, $e^x>0$, et la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• La fonction logarithme est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.

📖 8. Définitions des limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie en +∞ : La fonction $f$ admet la limite finie $\ell$ en $+\infty$ si, pour tout $\epsilon>0$, il existe $A\in\mathbb{R}$ tel que, pour tout $x\in D_f$ avec $x>A$, $|f(x)-\ell|<\epsilon$.
• Limite infinie en un point : La fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si, pour tout $M\in\mathbb{R}$, il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout $x\in D_f$ avec $|x-a|<\alpha$, $f(x)>M$ ; la définition de la limite $-\infty$ est analogue.

📝 Points essentiels

• Pour qu’une limite en $+\infty$ soit définie, $f$ n’a pas à être définie sur tout un intervalle $]A,+\infty[$, mais doit être définie pour des réels aussi grands que l’on veut.

• Pour $f(x)=1/x$ sur $\mathbb{R}^*$, la limite en $+\infty$ est 0 ; pour tout $\epsilon>0$, le choix $A=1/\epsilon$ garantit que $x>A$ implique $|1/x|<\epsilon$.

• Une fonction peut avoir une limite en $a$ sans être définie en $a$, mais elle doit être définie pour des réels aussi proches de $a$ que l’on veut.

📌 On note $x\to a^+$ lorsque $x$ tend vers $a$ avec $x>a$, et $x\to a^-$ lorsque $x$ tend vers $a$ avec $x<a$.

💡 Astuce mémo

À l’infini, on contrôle x par A ; en un point, on contrôle sa distance à a par α.

📖 9. Limites usuelles et opérations

★ À maîtriser

• Pour tout entier naturel non nul $n$, $x^n$ tend vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$ ; quand $x\to-\infty$, $x^n$ tend vers $+\infty$ si $n$ est pair et vers $-\infty$ si $n$ est impair.

• Pour $x>0$, si $a>0$, $x^a$ tend vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$ et vers 0 quand $x\to0^+$ ; si $a<0$, ces deux limites sont respectivement 0 et $+\infty$ ; si $a=0$, $x^a=1$.

• La fonction exponentielle vérifie $e^x\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ et $e^x\to0$ quand $x\to-\infty$.

• Le logarithme vérifie $\log(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ et $\log(x)\to-\infty$ quand $x\to0^+$.

📌 La limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient est l’opération correspondante sur les limites lorsque cette opération a un sens ; sinon, cette règle ne permet pas de conclure.

• Les quatre formes indéterminées présentées sont $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $0/0$ et $\infty/\infty$.

Compléments

📌 Pour une fonction usuelle (polynôme, fonction puissance, exponentielle ou logarithme) et un point $a$ de son domaine, $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

• Si le signe d’une expression n’est pas constant au voisinage considéré, sa limite n’existe pas, même si ses limites à droite et à gauche peuvent exister.

📖 10. Comparaison et composition des limites

★ À maîtriser

• Si $f(x)\geq g(x)$ au voisinage considéré et $g(x)\to+\infty$, alors $f(x)\to+\infty$.

• Si $h(x)\leq f(x)\leq g(x)$ au voisinage considéré et si $h$ et $g$ tendent toutes deux vers $\ell$, alors $f$ tend vers $\ell$.

• Si $f(x)\to b$ quand $x\to a$ et si $g(y)\to\ell$ quand $y\to b$, alors $g(f(x))\to\ell$ quand $x\to a$.

Compléments

• Pour $x>0$, $\log(2x+x^3)-\log(x)=\log(2+x^2)$, donc cette expression tend vers $\log(2)$ quand $x\to0^+$.

• Quand $x\to0$, $\exp(1/x^2)\to+\infty$ puisque $1/x^2\to+\infty$.

• Pour $h(x)=2^{1/x}$, la limite à droite en 0 vaut $+\infty$ et la limite à gauche vaut 0, donc la limite en 0 n’existe pas.

📖 11. Croissances comparées

★ À maîtriser

📌 Pour tous $\alpha>0$ et $\beta>0$, quand $x\to+\infty$, $x^\alpha/e^x\to0$, $e^x/x^\alpha\to+\infty$, $(\log x)^\beta/x^\alpha\to0$ et $x^\alpha/(\log x)^\beta\to+\infty$.

• À l’infini, l’exponentielle croît plus vite que toute puissance positive, et une puissance positive croît plus vite qu’une puissance positive du logarithme.

Compléments

• Pour tout $\alpha>0$ et $a>1$, quand $x\to+\infty$, $x^\alpha/a^x\to0$, $a^x/x^\alpha\to+\infty$, $\log(x)/a^x\to0$ et $a^x/\log(x)\to+\infty$.

• Pour tout $\alpha>0$, $x^\alpha\log(x)\to0$ quand $x\to0^+$.

• Quand $x\to-\infty$, $x\exp(x)\to0$.

• Quand $x\to+\infty$, $x^{1/2}/2^x\to0$, donc $(1/2)^x\sqrt{x}\to0$.

📖 12. Continuité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Continue en a si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Continuité sur un ensemble : Continue en tout point de E, où E est inclus dans son domaine de définition.

★ À maîtriser

📌 Si f et g sont continues sur D, alors f+g et fg sont continues sur D, et f/g est continue là où le quotient est bien défini.

📌 Si f et g sont continues, leur composée f∘g est continue sur son domaine de définition.

Compléments

• Les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition.

📖 13. Valeurs intermédiaires et unicité

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b], avec a<b, elle prend toute valeur comprise entre f(a) et f(b) : pour chaque y entre ces deux valeurs, il existe c∈[a,b] tel que f(c)=y.

📌 Si f est en plus strictement croissante ou strictement décroissante sur [a,b], le c tel que f(c)=y est unique.

Compléments

• Pour g(x)=x³−2x²−5x+3, g(−1)=5 et g(1)=−3 ; sa continuité sur [−1,1] garantit au moins une solution de g(x)=0 dans cet intervalle.

• Pour R(x)=0,1x−exp(−0,5x+0,4) sur [0,100], la continuité, la stricte croissance et les signes R(0)<0<R(100) garantissent un unique zéro c≈3,126, puis un bénéfice pour x>c ; il faut vendre au moins 313 objets.

💡 Astuce mémo

Le TVI garantit une solution ; la stricte monotonie garantit qu’elle est unique.

📖 14. Taux d’accroissement et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : La fonction définie pour x≠a par $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
• Dérivabilité en un point : Dérivable en a si son taux d’accroissement admet une limite finie en a ; cette limite est le nombre dérivé f′(a).
• Fonction dérivée : Associe à chaque x où f est dérivable son nombre dérivé f′(x).

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre dérivé vérifie $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0,\ h\ne0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque ces limites existent.

📌 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a, mais la réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable.

Compléments

• La fonction racine carrée est dérivable pour a>0, avec $f'(a)=\frac{1}{2\sqrt a}$, mais elle n’est pas dérivable en 0.

📖 15. Dérivées usuelles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle : L’unique fonction dérivable sur ℝ qui vérifie f′=f et f(0)=1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour les fonctions usuelles, $\left(x^b\right)'=bx^{b-1},\quad (e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=\log(a)a^x\ (a>0),\quad (\log x)'=\frac1x$ sur leurs domaines de dérivabilité.

📌 Les dérivées des opérations vérifient $(\lambda u)'=\lambda u',\quad (u+v)'=u'+v',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2},\quad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque les expressions sont définies.

📐 Formule - Pour une composée f(x)=v(u(x)), la dérivée est $f'(x)=v'(u(x))u'(x)$.

Compléments

📐 Formule - Les dérivées composées usuelles sont $[u^\alpha]'=\alpha u^{\alpha-1}u',\quad [\log(u)]'=\frac{u'}u,\quad [\exp(u)]'=\exp(u)u'$ lorsque les expressions sont définies.

📖 16. Dérivation et calcul de limites

★ À maîtriser

📐 Formule - Si f est dérivable en a, alors $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$.

📐 Formule - Les limites usuelles sont $\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}x=1\quad\text{et}\quad\lim_{x\to0}\frac{\exp(x)-1}x=1$.

Compléments

• Pour f(x)=log(2x), f′(x)=1/x et $\lim_{x\to5}\frac{\log(2x)-\log(10)}{x-5}=\frac15$.

• On a également $\lim_{x\to1}\frac{\log x}{x-1}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{\exp(2x)-1}{x}=2,\quad\lim_{x\to2}\frac{\log(x^2-2x+1)}{x-2}=2$.

📖 17. Tangente et sens de variation

★ À maîtriser

📐 Formule - Si f est dérivable en a, la tangente à son graphe au point (a,f(a)) a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ et pour pente f′(a).

📌 Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, elle est croissante si et seulement si f′≥0 sur ]a,b[, et décroissante si et seulement si f′≤0 sur ]a,b[.

📌 Si f′>0 sur un intervalle, f y est strictement croissante ; si f′<0, f y est strictement décroissante.

Compléments

• La fonction x↦1/x est strictement décroissante sur chacun des intervalles ]−∞,0[ et ]0,+∞[, mais elle n’est pas décroissante sur leur union ℝ*, qui n’est pas un intervalle.

💡 Astuce mémo

Signe de f′ → sens de variation de f.

📖 18. Dérivées successives et étude

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée de f′ lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d’une fonction, on calcule sa dérivée, on en détermine le signe, puis on établit les variations et complète le tableau avec les limites et les valeurs remarquables.

Compléments

• La dérivée n-ième de f se note f⁽ⁿ⁾, avec f⁽¹⁾=f′ et f⁽²⁾=f′′.

• Pour f(x)=log(x), f′(x)=1/x et f′′(x)=−1/x² sur ℝ⁺*.

• Pour f(x)=x⁴−4x³+4x²−10, la dérivée se factorise en $f'(x)=4x(x-1)(x-2)$ et ses points critiques sont 0, 1 et 2.

• Pour f(x)=log(x)−x²+x−3 sur ]0,+∞[, f′ s’annule en 1 et f′′(x)=−1/x²−2<0 ; f croît jusqu’à 1 puis décroît.

💡 Astuce mémo

Dériver, étudier le signe, dresser les variations, compléter par les limites.