Fiche de révision : Suites réelles et leurs limites

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Définition par récurrence et induction
3. Bornes et monotonie des suites
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Sommes partielles et formules
6. Valeur absolue et limites
7. Opérations sur les limites
8. Comparaison et convergence
9. Applications des suites récurrentes

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : Fonction de ℕ dans ℝ, dont les valeurs sont notées uₙ plutôt que f(n).

📝 Points essentiels

• Une suite peut être notée (uₙ, n ∈ ℕ), (uₙ, n ≥ 0) ou (u₀, u₁, u₂, …) lorsque les indices commencent à 0.

• Les suites définies par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ + 2, par vₙ = 2n + 1 et par u₀ = 1, wₙ₊₁ = wₙ + 2 ont les mêmes termes.

📖 2. Définition par récurrence et induction

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie directement en fonction de son indice ou par récurrence à partir d’un terme initial et d’une relation entre termes consécutifs.

• Pour démontrer P(n) pour tout n ≥ n₀ par récurrence, on vérifie P(n₀), puis on fixe n ≥ n₀, on suppose P(n) vraie et on démontre P(n + 1).

Compléments

• Pour tout entier n ≥ 1, l’inégalité 2ⁿ ≥ n se démontre par récurrence en vérifiant d’abord le rang 1 puis l’hérédité.

📖 3. Bornes et monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Suite (uₙ) telle que uₙ ≤ M pour tout indice n considéré.
• Suite croissante : Une suite (uₙ) est croissante si n ≤ p entraîne uₙ ≤ uₚ.
• Suite minorée : Suite (uₙ) telle que uₙ ≥ m pour tout indice n considéré.
• Suite bornée : À la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Si uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0 pour tout n, la suite est croissante ; si uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0 pour tout n, elle est décroissante.

💡 Astuce mémo

Majorée : plafond ; minorée : plancher

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite de raison r telle que uₙ₊₁ − uₙ = r pour tout n.
• Suite géométrique : Suite de raison q telle que uₙ₊₁ = q uₙ pour tout n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₀, $u_n = u_0 + rn$.

Compléments

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q et de premier terme u₀, $u_n = q^n u_0$.

• La suite définie par uₙ = 3 + 5n est arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : écart constant ; géométrique : quotient constant

📖 5. Sommes partielles et formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme partielle : Somme des termes de u₀ à uₙ : Sₙ = u₀ + u₁ + … + uₙ.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, $S_n = \frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1, $S_n = u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

📐 Formule - Pour la suite uₙ = n, la somme partielle vaut $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

• La somme 2 + 5 + … + 62 d’une suite arithmétique de 21 termes vaut 672.

📖 6. Valeur absolue et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que n ≥ N entraîne |uₙ − ℓ| < ε.
• Valeur absolue : Distance entre 0 et x sur la droite réelle.

📝 Points essentiels

📌 L’inégalité |x − a| < r équivaut à −r < x − a < r et à a − r < x < a + r.

• Pour −1 < q < 1, la suite qⁿ tend vers 0 ; pour q > 1, elle tend vers +∞ ; pour q ≤ −1, elle n’admet pas de limite.

💡 Astuce mémo

Une boule de rayon ε autour de ℓ contient tous les termes à partir d’un certain rang

📖 7. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

📌 La limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient est l’opération correspondante sur les limites lorsque cette opération a un sens.

Compléments

📌 Les formes +∞ − +∞ et 0 × ∞ sont indéterminées et ne permettent pas de déduire directement la limite.

• La suite (2/3)ⁿ tend vers 0, même si la somme des limites des termes 2ⁿ et −3ⁿ n’est pas définie comme opération ordinaire sur les limites.

💡 Astuce mémo

Opération définie sur les limites : conclusion ; forme indéterminée : pas de conclusion directe

📖 8. Comparaison et convergence

★ À maîtriser

• Toute suite qui admet une limite réelle est bornée.

📌 Toute suite croissante majorée ou décroissante minorée admet une limite réelle.

📌 Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et si vₙ et wₙ tendent vers la même limite, alors uₙ tend vers cette limite.

Compléments

📌 Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.

• Si 0 ≤ q < 1, alors (−q)ⁿ tend vers 0 par encadrement entre −qⁿ et qⁿ.

📐 Formule - Pour tout entier p et tout réel b > 1, $\frac{n^p}{b^n} \longrightarrow 0$ lorsque n tend vers l’infini.

💡 Astuce mémo

Monotonie avec borne adaptée → convergence réelle

📖 9. Applications des suites récurrentes

★ À maîtriser

• Pour u₀ = 0 et uₙ₊₁ = (uₙ + 2)/3, le changement de variable vₙ = uₙ − 1 donne vₙ₊₁ = vₙ/3 et uₙ = 1 − (1/3)ⁿ.

Compléments

• Pour étudier une suite définie par récurrence, on peut établir un encadrement par récurrence, étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ, conclure à la convergence par monotonie et bornitude, puis transformer la suite pour obtenir une expression explicite.

• La suite définie par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = (uₙ + 2)/3 est strictement croissante et majorée par 1, donc elle converge.

📐 Formule - Pour cette suite, $S_n = n+1 - \frac{3}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$.