QCM : Suites réelles et leurs limites (6 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’une suite réelle, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une suite réelle est une fonction de ℕ dans ℝ, dont les termes se notent uₙ.
Une suite réelle est une fonction de ℕ dans ℝ, dont les valeurs se notent f(n).
Une suite réelle indexée à partir de zéro se note (u₁, u₂, u₃, …).
Une suite réelle est une fonction de ℝ dans ℕ, notée généralement f(n).
Une suite réelle associe à chaque réel un terme noté uₙ, à valeurs entières.

Une suite réelle est une fonction de ℕ dans ℝ, dont les termes se notent uₙ.

Explication

Une suite réelle associe à chaque entier naturel une valeur réelle, notée usuellement uₙ. L’écriture f(n) est une notation fonctionnelle, mais la notation usuelle d’une suite est uₙ. Lorsque les indices commencent à zéro, on peut notamment noter la suite (u₀, u₁, u₂, …), et non (u₁, u₂, u₃, …).

2. Pour démontrer par récurrence que 2n≥n2^n \geq n pour tout entier n≥1n \geq 1, quelles étapes sont correctes ?

L’hérédité exige de supposer 2n+1≥n+12^{n+1} \geq n+1 pour établir 2n≥n2^n \geq n.
L’hérédité suppose 2n≥n2^n \geq n pour un entier n≥1n \geq 1 fixé.
L’initialisation se vérifie au rang 0, puisque la propriété y débute.
L’initialisation au rang 1 se vérifie car 21=2≥12^1 = 2 \geq 1.
Cette hypothèse permet d’écrire 2n+1≥2n≥n+12^{n+1} \geq 2n \geq n+1.

L’hérédité suppose $$2^n \geq n$$ pour un entier $$n \geq 1$$ fixé. · L’initialisation au rang 1 se vérifie car $$2^1 = 2 \geq 1$$. · Cette hypothèse permet d’écrire $$2^{n+1} \geq 2n \geq n+1$$.

Explication

Au rang 1, l’inégalité est vraie. Pour l’hérédité, l’hypothèse donne 2n+1≥2n2^{n+1} \geq 2n, et 2n≥n+12n \geq n+1 lorsque n≥1n \geq 1 ; le rang initial et le sens de l’implication proposés dans les autres étapes sont incorrects.

3. Une suite est définie par un=7+4nu_n=7+4n pour tout n≥0n\geq0. Concernant cette suite :

Son premier terme vaut u0=7u_0=7, en évaluant l’expression au rang zéro.
Son premier terme est u0=4u_0=4, car le coefficient de l’indice donne la valeur initiale.
Elle est arithmétique de raison 44, puisque chaque augmentation de l’indice ajoute 44 au terme.
Le terme d’indice 2 vaut u2=12u_2=12, en multipliant la raison par l’indice.
Sa raison vaut 77, valeur constante ajoutée au terme en fonction de l’indice.

Son premier terme vaut $$u_0=7$$, en évaluant l’expression au rang zéro. · Elle est arithmétique de raison $$4$$, puisque chaque augmentation de l’indice ajoute $$4$$ au terme.

Explication

Dans un=7+4nu_n=7+4n, la raison est le coefficient de nn, soit 44, et u0=7+4×0=7u_0=7+4\times0=7. Le coefficient n’est pas le premier terme, la constante 77 n’est pas la raison, et u2=15u_2=15 plutôt que 1212.

4. Une suite arithmétique a pour premier terme 4 et pour dernier terme 16 parmi les termes d’indices 0 à 6. Concernant sa somme partielle :

La somme des sept termes vaut 60, en divisant la somme des extrêmes par deux.
Pour une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 3, la somme jusqu’à l’indice 3 vaut 45.
La somme des termes vaut 84, en multipliant les extrêmes par le nombre de termes.
Pour une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 3, la somme jusqu’à l’indice 3 vaut 24.
La somme des sept termes vaut 70, en utilisant la moyenne des extrêmes.

Pour une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 3, la somme jusqu’à l’indice 3 vaut 45. · La somme des sept termes vaut 70, en utilisant la moyenne des extrêmes.

Explication

La suite arithmétique compte 7 termes : S6=(4+16)×72=70S_6=\frac{(4+16)\times7}{2}=70. Pour la suite géométrique, la formule donne 31−241−2=453\frac{1-2^4}{1-2}=45 ; 60 oublie le facteur du nombre de termes, 84 omet la division par deux, et 24 ne correspond pas à la somme géométrique.

5. Parmi les propositions suivantes concernant la somme 2+5+⋯+622+5+\cdots+62, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

La somme vaut 672, car elle comporte 21 termes.
Les termes forment une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 2.
Le dernier terme 62 s’obtient après 20 augmentations de 3 depuis 2.
La somme vaut 640, en prenant 20 comme nombre de termes.
La somme comporte 20 termes, puisque l’indice final est 20.

La somme vaut 672, car elle comporte 21 termes. · Les termes forment une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 2. · Le dernier terme 62 s’obtient après 20 augmentations de 3 depuis 2.

Explication

La suite commence à 2 et progresse de 3 ; atteindre 62 nécessite 20 augmentations, donc la somme comprend 21 termes. Elle vaut (2+62)×212=672\frac{(2+62)\times21}{2}=672, et non 640, tandis que 20 est le nombre d’intervalles, pas le nombre de termes.

6. Une suite est définie par un=qnu_n=q^n. Parmi les affirmations suivantes concernant sa limite, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

Pour q=1,4q=1{,}4, la suite tend vers 0, car qq est positif.
Pour q=−1,3q=-1{,}3, la suite tend vers −∞-\infty, car q≤−1q\leq-1.
Pour q=1,4q=1{,}4, la suite tend vers +∞+\infty, car q>1q>1.
Pour q=0,6q=0{,}6, la suite tend vers 0, car −1<q<1-1<q<1.
Pour q=−1q=-1, la suite n’admet pas de limite.

Pour $$q=1{,}4$$, la suite tend vers $$+\infty$$, car $$q>1$$. · Pour $$q=0{,}6$$, la suite tend vers 0, car $$-1<q<1$$. · Pour $$q=-1$$, la suite n’admet pas de limite.

Explication

Lorsque −1<q<1-1<q<1, qnq^n tend vers 0 ; lorsque q>1q>1, elle tend vers +∞+\infty. Pour q≤−1q\leq-1, elle n’admet pas de limite : en particulier, la suite pour q=−1,3q=-1{,}3 n’a pas de limite, et ne tend pas vers −∞-\infty.

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Qu’est-ce qu’une suite réelle ?

Une fonction de ℕ dans ℝ.

Comment note-t-on les valeurs d’une suite réelle plutôt que celles d’une fonction f ?

unu_n plutôt que f(n)f(n).

Comment une suite définie directement exprime-t-elle ses termes ?

Chaque terme est exprimé en fonction de son indice.

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