QCM : Fonctions réelles et polynômes (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’une fonction :

L’ensemble de définition est le plus grand ensemble de réels où l’expression de la fonction a un sens.
Une fonction numérique réelle associe à chaque réel une valeur appartenant à son domaine de départ.
Une fonction associe à chaque élément de son ensemble de départ une valeur de son ensemble d’arrivée.
Une fonction associe à chaque élément de son ensemble d’arrivée une valeur de son ensemble de départ.
Une fonction numérique réelle associe à chaque élément de son domaine une valeur réelle.

L’ensemble de définition est le plus grand ensemble de réels où l’expression de la fonction a un sens. · Une fonction associe à chaque élément de son ensemble de départ une valeur de son ensemble d’arrivée. · Une fonction numérique réelle associe à chaque élément de son domaine une valeur réelle.

Explication

Chaque élément du domaine de départ reçoit une valeur dans l’ensemble d’arrivée, et une fonction numérique réelle prend ses valeurs dans ℝ. L’ensemble de définition est le plus grand domaine réel où l’expression est définie ; les deux autres formulations inversent les ensembles concernés.

2. On définit f de [-1,1] vers ℝ par f(x)=x². Parmi les propositions suivantes concernant son domaine et son graphe, laquelle (lesquelles) est (sont) exacte(s) ?

Quand l’expression x² est donnée sans ensemble de départ, le domaine retenu est [-1,1].
L’ensemble de définition de l’expression x² est limité à l’intervalle [-1,1].
L’ensemble de départ spécifié est [-1,1], tandis que l’expression x² est définie sur ℝ.
Le graphe de f contient le couple (1,1), car 1 appartient à son domaine.
Le graphe de f contient le couple (2,4), puisque l’expression x² y est calculable.

L’ensemble de départ spécifié est [-1,1], tandis que l’expression x² est définie sur ℝ. · Le graphe de f contient le couple (1,1), car 1 appartient à son domaine.

Explication

L’ensemble de départ spécifié est [-1,1], tandis que l’expression x² est définie sur ℝ. Sans ensemble de départ précisé, on retient l’ensemble de définition maximal de l’expression, ici ℝ. Le graphe contient les couples (x,f(x)) pour les x du domaine : il contient donc (1,1), mais pas (2,4).

3. Une fonction g est définie sur ℝ et vérifie, pour x≤y, g(x)≤g(y). À propos de sa monotonie et de la fonction identité sur ℝ :

La condition donnée signifie que g est croissante sur ℝ.
La fonction identité x↦x est minorée par 0 sur ℝ.
La fonction identité x↦x n’est ni majorée ni minorée sur ℝ.
Une fonction décroissante vérifie g(x)≥g(y) lorsque x≤y dans son intervalle.
Une fonction est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

La condition donnée signifie que g est croissante sur ℝ. · La fonction identité x↦x n’est ni majorée ni minorée sur ℝ. · Une fonction décroissante vérifie g(x)≥g(y) lorsque x≤y dans son intervalle. · Une fonction est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

Explication

La condition g(x)≤g(y) pour x≤y définit une fonction croissante, tandis qu’une fonction décroissante satisfait l’inégalité opposée. La fonction identité sur ℝ n’est ni majorée ni minorée, et la monotonie désigne le fait d’être croissante ou décroissante ; elle n’est donc pas minorée par 0.

4. Quelles conditions caractérisent le domaine de définition de la composée f∘gf\circ g ?

Les réels xx du domaine de gg tels que g(x)g(x) appartient au domaine de ff.
Les réels xx du domaine de gg tels que xx appartient au domaine de ff.
Les réels communs aux domaines de ff et de gg, sans autre condition.
Les réels xx du domaine de ff tels que f(x)f(x) appartient au domaine de gg.

Les réels $$x$$ du domaine de $$g$$ tels que $$g(x)$$ appartient au domaine de $$f$$.

Explication

Pour que f(g(x))f(g(x)) soit défini, il faut que xx appartienne au domaine de gg et que la valeur g(x)g(x) appartienne au domaine de ff. La condition portant sur les valeurs de f(x)f(x) concerne l’ordre inverse de composition.

5. Pour f(x)=x2f(x)=x^2 définie sur R+\mathbb{R}_+, quelle est sa fonction réciproque ?

La fonction x↦x2x\mapsto x^2 définie sur R+\mathbb{R}_+
La fonction x↦xx\mapsto\sqrt{x} définie sur R+\mathbb{R}_+
La fonction x↦xx\mapsto\sqrt{x} définie sur R\mathbb{R}
La fonction x↦−xx\mapsto -\sqrt{x} définie sur R+\mathbb{R}_+

La fonction $$x\mapsto\sqrt{x}$$ définie sur $$\mathbb{R}_+$$

Explication

Sur R+\mathbb{R}_+, la fonction carré associe à chaque réel positif son carré, et la racine carrée restitue cet antécédent. La fonction opposée de la racine carrée ne renvoie pas les antécédents positifs de la fonction carré.

6. Quel est le rôle d’une factorisation d’un polynôme lorsqu’on connaît l’une de ses racines réelles x0x_0 ?

Elle permet de remplacer le polynôme par une somme de facteurs de degré inférieur.
Elle permet d’écrire le polynôme comme P(x)=(x−x0)Q(x)P(x)=(x-x_0)Q(x), où QQ est de degré inférieur d’une unité.
Elle permet d’écrire le polynôme comme P(x)=(x+x0)Q(x)P(x)=(x+x_0)Q(x), où QQ est de même degré.
Elle permet d’affirmer que toutes les racines du polynôme sont réelles et distinctes.

Elle permet d’écrire le polynôme comme $$P(x)=(x-x_0)Q(x)$$, où $$Q$$ est de degré inférieur d’une unité.

Explication

Comme P(x0)=0P(x_0)=0, le facteur associé à cette racine est x−x0x-x_0, et le quotient QQ est un polynôme de degré inférieur d’une unité. La présence d’une racine ne garantit pas que toutes les autres soient réelles ou distinctes.

7. Comment la monotonie de la fonction puissance x↦xbx\mapsto x^b dépend-elle du signe de son exposant, et comment celle de la fonction exponentielle x↦axx\mapsto a^x dépend-elle de sa base ?

La puissance est croissante si b<0b<0 et décroissante si b>0b>0 ; l’exponentielle est croissante si 0<a<10<a<1 et décroissante si a>1a>1.
La puissance est décroissante si b>0b>0 et constante si b<0b<0 ; l’exponentielle est décroissante si a>1a>1 et constante si 0<a<10<a<1.
La puissance est croissante dès que b≠0b\ne0 ; l’exponentielle est croissante si a>1a>1 et constante si 0<a<10<a<1.
La puissance est croissante si b>0b>0 et décroissante si b<0b<0 ; l’exponentielle est croissante si a>1a>1 et décroissante si 0<a<10<a<1.

La puissance est croissante si $$b>0$$ et décroissante si $$b<0$$ ; l’exponentielle est croissante si $$a>1$$ et décroissante si $$0<a<1$$.

Explication

Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, le signe de bb détermine le sens de variation de xbx^b, tandis que pour axa^x c’est la comparaison de la base avec 11 qui le détermine. En particulier, lorsque 0<a<10<a<1, l’exponentielle est décroissante, et non croissante.

8. Quelle conséquence découle du fait que le logarithme est la fonction réciproque de l’exponentielle ?

Il associe à chaque réel l’unique réel strictement positif dont l’exponentielle vaut ce nombre.
Il associe à chaque réel strictement positif l’unique réel dont l’exponentielle vaut ce nombre.
Il associe à chaque réel l’exponentielle de ce nombre, définie sur les réels strictement positifs.
Il associe à chaque réel strictement positif son carré, qui est l’antécédent par l’exponentielle.

Il associe à chaque réel strictement positif l’unique réel dont l’exponentielle vaut ce nombre.

Explication

Comme le logarithme est la réciproque de l’exponentielle, pour tout réel strictement positif, il renvoie l’unique exposant dont l’exponentielle donne ce nombre. L’exponentielle prend ses valeurs dans les réels strictement positifs, et non sur tout l’ensemble des réels.

9. Pour vérifier que ff tend vers une limite finie ℓ\ell lorsque x→+∞x\to+\infty, que faut-il établir à partir d’un ε>0\varepsilon>0 arbitraire ?

Qu’il existe un réel AA tel que, pour tout xx du domaine avec x>Ax>A, f(x)=ℓf(x)=\ell.
Qu’il existe un réel AA tel que, pour tout xx du domaine avec x>Ax>A, ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.
Qu’il existe un réel MM tel que, pour tout xx du domaine avec x>Ax>A, f(x)>Mf(x)>M.
Qu’il existe un réel α>0\alpha>0 tel que, pour tout xx du domaine avec ∣x−A∣<α|x-A|<\alpha, ∣f(x)−ℓ∣<ε|f(x)-\ell|<\varepsilon.

Qu’il existe un réel $$A$$ tel que, pour tout $$x$$ du domaine avec $$x>A$$, $$|f(x)-\ell|<\varepsilon$$.

Explication

La définition demande de pouvoir rendre f(x)f(x) aussi proche de ℓ\ell que souhaité en choisissant un seuil AA suffisamment grand. La condition portant sur la distance à un point fixe décrit plutôt un voisinage de ce point, et non le comportement à l’infini.

10. Quelles propriétés caractérisent les limites de xnx^n lorsque x→−∞x\to-\infty, selon la parité de l’entier naturel non nul nn ?

La limite vaut +∞+\infty si nn est pair et −∞-\infty si nn est impair.
La limite vaut +∞+\infty pour toute valeur de nn, quelle que soit sa parité.
La limite vaut −∞-\infty pour toute valeur de nn, quelle que soit sa parité.
La limite vaut −∞-\infty si nn est pair et +∞+\infty si nn est impair.

La limite vaut $$+\infty$$ si $$n$$ est pair et $$-\infty$$ si $$n$$ est impair.

Explication

À l’infini négatif, une puissance d’exposant pair devient positive et croît sans borne, tandis qu’une puissance d’exposant impair reste négative et décroît sans borne. L’inversion de ces comportements selon la parité confond les signes de ces deux types de puissances.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Fonctions réelles et polynômes.

Quels éléments définissent une fonction ?

Un ensemble de départ, un ensemble d’arrivée et une association à chaque élément du départ d’une valeur dans l’arrivée.

Quelle condition définit une fonction majorée par MM sur DfD_f ?

f(x)≤Mf(x)\leq M pour tout x∈Dfx\in D_f.

Quelle condition définit une fonction minorée par mm sur DfD_f ?

f(x)≥mf(x)\geq m pour tout x∈Dfx\in D_f.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Fonctions réelles et polynômes.

Voir la fiche →

Cours similaires

Climat et action humaine

SVT

Psychologie du développement

Développement cognitif et social adolescent

Suites réelles et leurs limites

Mathématiques

Structure et classes sociales

Suites géométriques

Mathématiques

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM