Fiche de révision : Fractions et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les fractions
2. Multiples et diviseurs
3. Critères de divisibilité
4. Division euclidienne
5. Nombres premiers et décomposition
6. PGCD, PPCM et problèmes
7. Fractions irréductibles

📖 1. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• Pour calculer une fraction d’une quantité, on multiplie cette fraction par la quantité ; par exemple, $\frac{11}{24}$ de 1200 vaut $\frac{11}{24}\times1200$.

Compléments

• Pour calculer une fraction d’une fraction, on multiplie les deux fractions : $\frac{2}{5}$ de $\frac{3}{4}$ vaut $\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}$.

• Diviser $\frac{6}{5}$ par 3 revient à multiplier par $\frac{1}{3}$, donc $\frac{6}{5}:3=\frac{6}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$.

💡 Astuce mémo

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un entier naturel a est un multiple d’un entier naturel b s’il existe un entier k tel que $a=k\times b$ ; b est alors un diviseur de a, et a est divisible par b.
• Entier naturel : Nombre entier positif ou nul.

📝 Points essentiels

• 1 est un diviseur de tout entier naturel, et 0 est un multiple de tout entier naturel.

• Pour réfuter une affirmation universelle, il suffit de trouver un contre-exemple ; par exemple, $1+2+3=6$ montre que la somme de trois entiers consécutifs n’est pas toujours impaire.

• La somme de trois entiers consécutifs n, n+1 et n+2 vaut $3(n+1)$ et est donc toujours un multiple de 3.

• Comme $36=12\times3$, 36 est un multiple de 12 et 3 est un diviseur de 36.

📖 3. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

📌 Un entier naturel est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

Compléments

📌 Un entier naturel supérieur ou égal à 10 est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

• 3 784 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres vaut 24, qui est divisible par 3.

📖 4. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne de a par b, avec a et b entiers naturels et b non nul, détermine des entiers naturels q et r tels que $a=bq+r$ et $0\leq r<b$.

📝 Points essentiels

• Les termes de la division euclidienne sont :
  • a : le dividende
  • b : le diviseur
  • q : le quotient
  • r : le reste

📌 Le reste de la division euclidienne de a par b est nul si et seulement si a est un multiple de b.

• La division euclidienne de 2347 par 60 donne $2347=60\times39+7$, donc 2347 minutes correspondent à 39 h 7 min.

• Dans Scratch, l’opérateur modulo donne le reste de la division euclidienne du premier nombre par le second.

📖 5. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier positif ayant exactement deux diviseurs.

★ À maîtriser

📌 Tout entier strictement supérieur à 1 est premier ou se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.

Compléments

• 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur, et 2 est le seul nombre premier pair.

• Les nombres premiers inférieurs à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

• La décomposition de 60 en facteurs premiers est $60=2^2\times3\times5$.

• La décomposition de 700 en facteurs premiers est $700=2^2\times5^2\times7$.

📖 6. PGCD, PPCM et problèmes

★ À maîtriser

📌 Pour calculer le PGCD à partir des décompositions en facteurs premiers, on retient les facteurs communs avec leur plus petit exposant.

📌 Pour calculer le PPCM à partir des décompositions en facteurs premiers, on retient tous les facteurs présents avec leur plus grand exposant.

Compléments

• Le PGCD de 60 et 700 vaut $2^2\times5=20$, et leur PPCM vaut $2^2\times3\times5^2\times7=2100$.

• Pour retrouver pour la première fois la même position de deux roues dentées de 12 et 20 dents, on cherche le PPCM de 12 et 20, égal à 60 dents ; la roue de 12 dents effectue 5 tours et celle de 20 dents en effectue 3.

• Pour répartir 144 filles et 252 garçons en équipes mixtes identiques en maximisant leur nombre, on calcule leur PGCD, égal à 36 ; chaque équipe comprend alors 4 filles et 7 garçons.

💡 Astuce mémo

PGCD : exposants minimaux ; PPCM : exposants maximaux.

📖 7. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

📝 Points essentiels

📌 La décomposition en facteurs premiers permet de simplifier une fraction et de la rendre irréductible.

• La fraction $\frac{144}{252}$ se simplifie en $\frac{4}{7}$ après réduction des facteurs premiers communs.

• La fraction $\frac{7}{12}$ est irréductible car 7 et 12 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.