Fiche de révision : Lois de probabilité

📋 Plan du Cours

1. Épreuves et loi binomiale
2. Calculs et propriétés binomiales
3. Loi de Poisson
4. Variables aléatoires continues
5. Espérance et dispersion continues
6. Lois conjointes et densités

📖 1. Épreuves et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve binomiale : Une épreuve aléatoire qui conduit soit à un succès, soit à son contraire appelé échec.
• Suite binomiale : Une suite de Bernoulli comprenant un nombre fixé à l’avance d’épreuves binomiales réalisées dans les mêmes conditions, avec une probabilité de succès constante.
• Loi binomiale : La loi de probabilité du nombre X de succès obtenus lors de n épreuves binomiales indépendamment de leur ordre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour X suivant une loi binomiale de paramètres n et p, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour k = 0, 1, 2, …, n.

Compléments

• Dans une épreuve binomiale, la probabilité de succès est p et celle de l’échec est q = 1 − p.

• Pour une loi binomiale, la probabilité de n’obtenir aucun succès est q^n et celle d’obtenir au moins un succès est 1 − q^n.

📖 2. Calculs et propriétés binomiales

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable X suivant une loi binomiale de paramètres n et p, $E(X)=np$.

Compléments

• Si la proportion de fers défectueux est p = 1/25 = 0,04 et que 6 fers sont vérifiés, le nombre de fers défectueux est modélisé par une loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 0,04.

• Dans cet exemple, les probabilités pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 fers défectueux sont respectivement 0,783 ; 0,196 ; 0,02 ; 0,001 ; 0 ; 0 ; 0.

📐 Formule - L’écart type d’une variable binomiale est $\sigma(X)=\sqrt{npq}$.

📖 3. Loi de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Poisson : Une loi de paramètre λ > 0 pour une variable dont les valeurs possibles sont les entiers naturels et dont la loi est donnée par $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable X suivant une loi de Poisson de paramètre λ, $E(X)=\lambda$.

Compléments

• Les applications citées en génie civil sont : la gestion de la signalisation des trafics, l’aménagement et le dimensionnement des carrefours à feux, la construction d’ouvrages, les rebuts de fabrication, les rebuts d’essais, le nombre d’accidents

📖 4. Variables aléatoires continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire continue : Continue lorsque son ensemble de définition est un intervalle.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition d’une variable aléatoire X est définie par $F(x)=P(X<x)$ ; elle est positive, croissante, tend vers 0 quand x tend vers −∞ et vers 1 quand x tend vers +∞.
• Densité de probabilité : La dérivée de la fonction de répartition lorsque celle-ci est dérivable, et l’aire sous sa courbe sur l’ensemble des valeurs vaut 1.
• Variable absolument continue : Une variable aléatoire dont la fonction de répartition F est continue et admet une dérivée f.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable aléatoire continue, $P(a\leq X<b)=F(b)-F(a)$.

Compléments

• Pour une variable aléatoire absolument continue, la probabilité attachée à un point est nulle : $P(X=x)=0$.

📖 5. Espérance et dispersion continues

★ À maîtriser

📐 Formule - L’espérance d’une variable aléatoire continue de densité f est $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x)\,dx$.

📐 Formule - Pour des constantes a et b et une variable aléatoire X, $E(aX+b)=aE(X)+b$.

📐 Formule - Si X et Y sont indépendantes, $E(XY)=E(X)E(Y)$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux variables aléatoires X et Y, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

• Deux variables X et Y sont indépendantes lorsque leur densité conjointe vérifie f(x,y)=f(x)f(y) pour tout couple (x,y).

📐 Formule - La variance d’une variable aléatoire continue est $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$, avec $E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx$.

📐 Formule - L’écart type d’une variable aléatoire est $\sigma_X=\sqrt{V(X)}$.

📖 6. Lois conjointes et densités

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité conjointe : La densité conjointe d’un couple (X,Y) donne la probabilité élémentaire associée au rectangle infinitésimal, selon $f(x,y)\,dx\,dy=P(x\leq X<x+dx\ ;\ y\leq Y<y+dy)$.
• Densités marginales : Les densités respectives des variables X et Y prises séparément dans un couple aléatoire (X,Y).
• Densité conditionnelle : La densité conditionnelle de Y sachant X=x est notée g(y/x), et celle de X sachant Y=y est notée h(x/y).