QCM : Lois de probabilité (10 questions)

Question 1

1. Un essai aléatoire n’a que deux issues possibles, l’apparition ou la non-apparition d’un événement. Comment nomme-t-on cet essai dans le cadre binomial ?

Une épreuve binomiale

Une loi binomiale

Une suite de Bernoulli

Un succès binomial

Explication

Une épreuve binomiale a deux issues complémentaires, appelées succès et échec. Une suite de Bernoulli désigne plusieurs épreuves, un succès est une issue, et la loi binomiale décrit le nombre de succès.

Answer

Une épreuve binomiale

Question 2

2. On réalise $n$ épreuves binomiales et l’on note $X$ le nombre de succès, sans tenir compte de leur ordre. Que désigne la loi binomiale dans cette situation ?

La probabilité de succès à une épreuve

La loi de probabilité du nombre d’épreuves

La loi de probabilité de l’ordre des issues

La loi de probabilité de

X

Explication

La loi binomiale donne la loi de probabilité du nombre $X$ de succès obtenus au cours des $n$ épreuves, indépendamment de leur ordre. L’ordre des issues, le nombre d’épreuves et la probabilité d’un succès isolé sont des notions distinctes.

Answer

La loi de probabilité de $$X$$

Question 3

3. Un contrôle consiste en $12$ essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès de $0,25$ . Quelle est l’espérance du nombre de succès ?

3

succès

12,25

succès

6

succès

9

succès

Explication

Pour une loi binomiale, l’espérance vaut $E(X)=np$ ; ici, $12\times0,25=3$ . Le résultat $9$ utilise la probabilité d’échec, $12,25$ additionne les paramètres et $6$ ajoute un facteur injustifié.

Answer

$$3$$ succès

Question 4

4. Une variable binomiale décrit $20$ essais indépendants, avec une probabilité de succès de $0,3$ et d’échec de $0,7$ . Quelle expression donne son écart type ?

20\times0,3\times0,7

\sqrt{20\times0,7}

\sqrt{20\times0,3}

\sqrt{20\times0,3\times0,7}

Explication

L’écart type binomial se calcule par $\sigma(X)=\sqrt{npq}$ , avec $p=0,3$ et $q=0,7$ . L’expression sans racine correspond à la variance, tandis que les deux autres expressions omettent l’un des facteurs requis.

Answer

$$\sqrt{20\times0,3\times0,7}$$

Question 5

5. Que caractérise une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ ?

Une variable dont l’espérance est égale au carré de son paramètre.

Une variable comptant les succès de plusieurs épreuves indépendantes à probabilité constante.

Une variable à valeurs entières naturelles, dont les probabilités suivent la formule de Poisson.

Une variable à valeurs réelles, dont la densité détermine les probabilités sur des intervalles.

Explication

Une loi de Poisson décrit une variable prenant des valeurs dans les entiers naturels, avec $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ . Une loi binomiale compte des succès lors d’un nombre fixé d’épreuves, ce qui correspond à une autre modélisation.

Answer

Une variable à valeurs entières naturelles, dont les probabilités suivent la formule de Poisson.

Question 6

6. Quelle probabilité est attachée à la réalisation d’une valeur précise par une variable aléatoire absolument continue ?

Une probabilité nulle, quelle que soit la valeur considérée.

Une probabilité égale à l’aire totale sous la densité.

Une probabilité égale à la densité évaluée en cette valeur.

Une probabilité déterminée par la différence entre deux valeurs de la fonction de répartition.

Explication

Pour une variable absolument continue, chaque valeur isolée a une probabilité nulle. La densité en un point ne donne pas directement la probabilité de ce point, mais contribue aux probabilités sur des intervalles.

Answer

Une probabilité nulle, quelle que soit la valeur considérée.

Question 7

7. Quel rôle joue la formule $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ dans l’étude d’une variable aléatoire continue ?

Elle donne la densité de probabilité à partir de la fonction de répartition.

Elle calcule la probabilité que

X

prenne une valeur précise.

Elle détermine l’espérance du produit de deux variables indépendantes.

Elle mesure la dispersion des valeurs de

X

autour de son espérance.

Explication

Cette formule sert à calculer la variance, qui mesure la dispersion de la variable à partir de son moment d’ordre deux et de son espérance. L’espérance d’un produit de variables indépendantes se calcule plutôt par $E(XY)=E(X)E(Y)$ .

Answer

Elle mesure la dispersion des valeurs de $$X$$ autour de son espérance.

Question 8

8. En quoi une densité conjointe diffère-t-elle d’une densité marginale pour un couple de variables aléatoires ?

La densité conjointe décrit la loi de

Y

sachant

X=x

, tandis qu’une densité marginale décrit la loi de

X

sachant

Y=y

.

La densité conjointe décrit le comportement simultané de

X

et

Y

, tandis qu’une densité marginale décrit une variable prise séparément.

La densité conjointe concerne les variables indépendantes, tandis qu’une densité marginale concerne les variables dépendantes.

La densité conjointe donne l’espérance du couple, tandis qu’une densité marginale donne la variance de chaque variable.

Explication

La densité conjointe associe une probabilité élémentaire à des valeurs de $X$ et de $Y$ considérées ensemble, alors que les densités marginales décrivent séparément chacune des variables. La densité conditionnelle, évoquée dans un distracteur, décrit plutôt une variable sachant une valeur de l’autre.

Answer

La densité conjointe décrit le comportement simultané de $$X$$ et $$Y$$, tandis qu’une densité marginale décrit une variable prise séparément.

Question 9

9. Si la probabilité d’échec à chaque épreuve binomiale est $q$ et que l’on réalise $n$ épreuves, quelle conséquence découle de l’indépendance des épreuves pour la probabilité de n’obtenir aucun succès ?

Elle vaut

1-q^n

, car il faut retirer les échecs de l’ensemble des issues.

Elle vaut

nq

, car la probabilité d’échec s’additionne à chaque épreuve.

Elle vaut

q/n

, car la probabilité d’échec se répartit entre les épreuves.

Elle vaut

q^n

, car il faut échouer à chacune des épreuves.

Explication

N’obtenir aucun succès signifie que les $n$ épreuves se terminent toutes par un échec ; avec une probabilité d’échec $q$ à chaque épreuve, la probabilité conjointe est $q^n$ . L’expression $1-q^n$ correspond plutôt à la probabilité complémentaire d’obtenir au moins un succès.

Answer

Elle vaut $$q^n$$, car il faut échouer à chacune des épreuves.

Question 10

10. Un contrôle porte sur six pièces indépendantes, et la probabilité qu’une pièce soit défectueuse est de 0,04. Quelle espérance du nombre de pièces défectueuses faut-il utiliser pour planifier le contrôle ?

0,24 pièce défectueuse

1,50 pièce défectueuse

0,04 pièce défectueuse

6 pièces défectueuses

Explication

Pour une variable binomiale, l’espérance se calcule en multipliant le nombre d’épreuves par la probabilité de succès : $E(X)=np=6\times 0{,}04=0{,}24$ . La valeur 0,04 correspond à la probabilité pour une seule pièce, et non au nombre moyen de pièces défectueuses parmi les six.

Answer

0,24 pièce défectueuse

QCM : Lois de probabilité (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un essai aléatoire n’a que deux issues possibles, l’apparition ou la non-apparition d’un événement. Comment nomme-t-on cet essai dans le cadre binomial ?

2. On réalise $n$ épreuves binomiales et l’on note $X$ le nombre de succès, sans tenir compte de leur ordre. Que désigne la loi binomiale dans cette situation ?

3. Un contrôle consiste en $12$ essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès de $0,25$ . Quelle est l’espérance du nombre de succès ?

4. Une variable binomiale décrit $20$ essais indépendants, avec une probabilité de succès de $0,3$ et d’échec de $0,7$ . Quelle expression donne son écart type ?

5. Que caractérise une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ ?

6. Quelle probabilité est attachée à la réalisation d’une valeur précise par une variable aléatoire absolument continue ?

7. Quel rôle joue la formule $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ dans l’étude d’une variable aléatoire continue ?

8. En quoi une densité conjointe diffère-t-elle d’une densité marginale pour un couple de variables aléatoires ?

9. Si la probabilité d’échec à chaque épreuve binomiale est $q$ et que l’on réalise $n$ épreuves, quelle conséquence découle de l’indépendance des épreuves pour la probabilité de n’obtenir aucun succès ?

10. Un contrôle porte sur six pièces indépendantes, et la probabilité qu’une pièce soit défectueuse est de 0,04. Quelle espérance du nombre de pièces défectueuses faut-il utiliser pour planifier le contrôle ?

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QCM : Lois de probabilité (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un essai aléatoire n’a que deux issues possibles, l’apparition ou la non-apparition d’un événement. Comment nomme-t-on cet essai dans le cadre binomial ?

2. On réalise nnn épreuves binomiales et l’on note XXX le nombre de succès, sans tenir compte de leur ordre. Que désigne la loi binomiale dans cette situation ?

3. Un contrôle consiste en 121212 essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès de 0,250,250,25. Quelle est l’espérance du nombre de succès ?

4. Une variable binomiale décrit 202020 essais indépendants, avec une probabilité de succès de 0,30,30,3 et d’échec de 0,70,70,7. Quelle expression donne son écart type ?

5. Que caractérise une loi de Poisson de paramètre λ>0\lambda > 0λ>0 ?

6. Quelle probabilité est attachée à la réalisation d’une valeur précise par une variable aléatoire absolument continue ?

7. Quel rôle joue la formule V(X)=E(X2)−[E(X)]2V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2V(X)=E(X2)−[E(X)]2 dans l’étude d’une variable aléatoire continue ?

8. En quoi une densité conjointe diffère-t-elle d’une densité marginale pour un couple de variables aléatoires ?

9. Si la probabilité d’échec à chaque épreuve binomiale est qqq et que l’on réalise nnn épreuves, quelle conséquence découle de l’indépendance des épreuves pour la probabilité de n’obtenir aucun succès ?

10. Un contrôle porte sur six pièces indépendantes, et la probabilité qu’une pièce soit défectueuse est de 0,04. Quelle espérance du nombre de pièces défectueuses faut-il utiliser pour planifier le contrôle ?

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2. On réalise $n$ épreuves binomiales et l’on note $X$ le nombre de succès, sans tenir compte de leur ordre. Que désigne la loi binomiale dans cette situation ?

3. Un contrôle consiste en $12$ essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès de $0,25$ . Quelle est l’espérance du nombre de succès ?

4. Une variable binomiale décrit $20$ essais indépendants, avec une probabilité de succès de $0,3$ et d’échec de $0,7$ . Quelle expression donne son écart type ?

5. Que caractérise une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ ?

7. Quel rôle joue la formule $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ dans l’étude d’une variable aléatoire continue ?

9. Si la probabilité d’échec à chaque épreuve binomiale est $q$ et que l’on réalise $n$ épreuves, quelle conséquence découle de l’indépendance des épreuves pour la probabilité de n’obtenir aucun succès ?