Introduction aux suites numériques

1. 📌 L'essentiel

• Une suite est une fonction de ℕ dans ℝ, notée 𝑢ₙ ou 𝑢(𝑛).
• Formule explicite 𝑢ₙ = 2𝑛² + 𝑛 (exemple de suite polynomiale).
• Formule de récurrence : relation reliant chaque terme au précédent, ex. 𝑢ₙ₊₁= (1/3) 𝑢ₙ + 1.
• Suites arithmétiques : 𝑢ₙ= 𝑢₀ + n r, avec r la raison.
• Suites géométriques : 𝑢ₙ= 𝑢₀ qⁿ, avec q la raison.
• La limite d’une suite peut être finie, infinie ou divergente.
• Théor clés : comparaison, sandwich, opérations sur limites.
• La limite d’une suite géométrique dépend de |q| : converge si |q|<1, diverge sinon.
• La somme d’une suite arithmétique : 𝑆ₙ= (n+1)(𝑢₀ + 𝑢ₙ)/2.
• La somme géométrique : 𝑆ₙ= 𝑢₀ (1− q^{n+1})/(1− q), q ≠ 1.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Suite : fonction de ℕ dans ℝ, termes 𝑢ₙ.
• Formule explicite : expression directe en fonction de n.
• Formule de récurrence : relation reliant 𝑢ₙ₊₁ à 𝑢ₙ.
• Suite arithmétique : différence constante r, formule 𝑢ₙ= 𝑢₀ + n r.
• Suite géométrique : raison q, formule 𝑢ₙ= 𝑢₀ qⁿ.
• Somme arithmétique : moyenne des extrémités, formule 𝑆ₙ= (n+1)(𝑢₀+ 𝑢ₙ)/2.
• Somme géométrique : série avec raison q, formule 𝑆ₙ= 𝑢₀ (1− q^{n+1})/(1− q).
• Théorème de convergence : suite converge si sa limite existe.
• Suite divergente : limite infinie ou oscillation.
• Limite géométrique : dépend de q, converge si |q|<1.