Fiche de révision : Limites de suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et propriétés des suites
2. Opérations sur les limites
3. Limites des suites géométriques
4. Formes indéterminées et transformations
5. Comparaison et théorèmes de convergence
6. Méthodes de calcul des limites

📖 1. Vocabulaire et propriétés des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique $(u_n)$ est une application qui associe à tout entier naturel $n$ un nombre réel $u_n$.
• Convergence : Une suite converge lorsqu’elle admet une limite finie $L$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
• Divergence : Une suite diverge lorsqu’elle n’a pas de limite finie : elle tend vers $+\infty$, vers $-\infty$ ou n’a pas de limite.
• Suite majorée : Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que $u_n\le M$ pour tout $n$.
• Suite minorée : Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un réel $m$ tel que $u_n\ge m$ pour tout $n$.
• Suite bornée : Une suite est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire qu’il existe $m$ et $M$ tels que $m\le u_n\le M$.
• Monotonie : Une suite est monotone si elle est toujours croissante, avec $u_{n+1}\ge u_n$, ou toujours décroissante.

💡 Astuce mémo

Majorée impose un plafond ; minorée impose un plancher.

📖 2. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• Si $u_n\to L$ et $v_n\to L'$, alors $u_n+v_n\to L+L'$.

Compléments

• Le produit d’une suite tendant vers $0$ par une suite tendant vers $+\infty$ ou $-\infty$ est une forme indéterminée.

• Un quotient dont le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $0$ est une forme indéterminée.

📖 3. Limites des suites géométriques

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique de raison $q$, la limite de $q^n$ vaut $+\infty$ si $q>1$, $1$ si $q=1$, et $0$ si $-1<q<1$.

• Pour une suite géométrique de raison $q\le-1$, la suite $q^n$ n’a pas de limite et diverge.

📖 4. Formes indéterminées et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Une forme indéterminée est une expression pour laquelle les opérations directes sur les limites ne permettent pas de conclure et qu’il faut transformer.

★ À maîtriser

• Pour lever la forme $+\infty-\infty$, factoriser par le terme de plus haut degré, comme dans $n^2-n=n^2(1-1/n)\to+\infty$.

• Pour lever la forme $\infty/\infty$, factoriser le numérateur et le dénominateur par leur terme dominant, puis simplifier, comme dans $(n^3+1)/n=n^2(1+1/n^3)\to+\infty$.

Compléments

• Pour lever la forme $0\times\infty$, réécrire le produit comme un quotient ou le simplifier, comme dans $(1/n)n^2=n\to+\infty$.

• Pour lever la forme $0/0$, factoriser par $(n-n_0)$ ou utiliser l’expression conjuguée, comme dans $(1/n)/(2/n)=1/2$.

📖 5. Comparaison et théorèmes de convergence

📝 Points essentiels

• Si, à partir d’un certain rang, $v_n\le u_n\le w_n$ et si $v_n$ et $w_n$ tendent vers la même limite finie $L$, alors $u_n\to L$.

• Si $u_n\ge v_n$ et $v_n\to+\infty$, alors $u_n\to+\infty$.

• Toute suite croissante et majorée converge.

📖 6. Méthodes de calcul des limites

📝 Points essentiels

• Pour déterminer la limite d’un polynôme en $n$, mettre en facteur la plus grande puissance de $n$.

• Pour une fraction rationnelle $P(n)/Q(n)$, mettre en facteur le terme dominant au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.

• Pour une expression contenant $(-1)^n$, $\sin(n)$ ou $\cos(n)$, l’encadrer entre deux bornes puis appliquer le théorème des gendarmes.

• Pour une différence de racines carrées $\sqrt A-\sqrt B$, multiplier et diviser par la quantité conjuguée $\sqrt A+\sqrt B$.

💡 Astuce mémo

Identifier la forme, transformer l’expression, puis appliquer le théorème adapté.