Fiche de révision : Nombres réels et bornes

📋 Plan du Cours

1. Rationnels et nombres décimaux
2. Nombres réels et irrationnels
3. Structure algébrique et ordre réel
4. Valeur absolue et distance
5. Partie entière et propriétés
6. Intervalles de la droite réelle
7. Bornes et extrema d’un ensemble
8. Bornes supérieures et inférieures

📖 1. Rationnels et nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : L’ensemble des rationnels est $\mathbb{Q}=\{p/q\mid p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\}$, et le dénominateur peut être choisi dans $\mathbb{N}^*$.
• Nombres décimaux : L’ensemble des nombres décimaux est $\mathbb{D}=\{a/10^n\mid a\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N}\}$ et $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$.
• Nombres naturels : L’ensemble des nombres naturels est $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$.
• Nombres relatifs : L’ensemble des entiers relatifs est $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1{,}0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$.

📝 Points essentiels

📌 Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est fini ou infini périodique.

📖 2. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : L’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels contient les solutions de $x^2-2=0$, qui n’appartiennent pas à $\mathbb{Q}$.
• Nombres irrationnels : Les nombres irrationnels sont les réels qui ne sont pas rationnels, c’est-à-dire les éléments de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

★ À maîtriser

• La preuve de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ suppose $\sqrt{2}=p/q$ avec $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}^*$ et $\operatorname{PGCD}(p,q)=1$, puis déduit de $p^2=2q^2$ que p et q sont pairs, ce qui contredit cette coprimalité.

Compléments

📌 Si le carré d’un entier est pair, alors cet entier est pair.

💡 Astuce mémo

L’absence de solution rationnelle à une équation conduit à élargir Q en R.

📖 3. Structure algébrique et ordre réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps commutatif : Les opérations usuelles d’addition et de multiplication confèrent à $\mathbb{R}$ une structure de corps commutatif, avec distributivité de la multiplication sur l’addition.
• Ordre total : La relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$ est réflexive, antisymétrique et transitive, et deux réels quelconques sont comparables ; ainsi, $\mathbb{R}$ est totalement ordonné.
• Maximum et minimum : Pour deux réels a et b, $\max(a,b)$ est le plus grand des deux et $\min(a,b)$ est le plus petit des deux.

📝 Points essentiels

• L’addition dans $\mathbb{R}$ est commutative et associative, possède 0 comme élément neutre et chaque réel x comme opposé −x.

• La multiplication dans $\mathbb{R}$ est commutative et associative, possède 1 comme élément neutre et tout réel non nul x comme élément inverse $1/x$.

📐 Formule - La multiplication est distributive sur l’addition : $x(y+z)=xy+xz$.

📖 4. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel x, $|x|=x$ si $x\geq0$ et $|x|=-x$ si $x<0$ ; elle vérifie aussi $|x|=\max(-x,x)$.
• Distance réelle : La distance entre deux réels x et y est $d(x,y)=|x-y|$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel a>0, $|x|\leq a\Longleftrightarrow -a\leq x\leq a$.

📐 Formule - L’inégalité triangulaire donne $|x+y|\leq|x|+|y|$ et $|x-y|\leq|x|+|y|$ pour tous réels x et y.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel x, $-|x|\leq x\leq |x|$ et $|x|\geq0$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $|x|=0\Longleftrightarrow x=0$, $|-x|=|x|$ et $\sqrt{x^2}=|x|$.

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $|xy|=|x||y|$.

📐 Formule - La seconde inégalité triangulaire est $\bigl||x|-|y|\bigr|\leq|x-y|$ pour tous réels x et y.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro ; |x−y| mesure celle entre x et y.

📖 5. Partie entière et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière $E(x)$, aussi notée $[x]$, est le plus grand entier relatif n tel que $n\leq x$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x, l’unique entier $E(x)$ vérifie $E(x)\leq x<E(x)+1$.

Compléments

• La partie entière de −3,5 est −4, tandis que celle de 2,34 est 2.

📐 Formule - Pour tout réel x, $x-1<E(x)\leq x$.

📌 La fonction partie entière est croissante : si $x\leq y$, alors $E(x)\leq E(y)$.

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $E(x)+E(y)\leq E(x+y)$, et pour tout entier n, $E(x+n)=E(x)+n$.

📖 6. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Une partie non vide I de $\mathbb{R}$ est un intervalle si, pour tous x,y∈I tels que x<y, $[x,y]\subset I$.
• Types d’intervalles : Pour a<b, les intervalles sont $]a,b[=\{x:a<x<b\}$, $[a,b]=\{x:a\leq x\leq b\}$, $]a,b]=\{x:a<x\leq b\}$ et $[a,b[=\{x:a\leq x<b\}$.

📝 Points essentiels

• La longueur d’un intervalle de bornes a<b est $b-a$ et son milieu est $\frac{a+b}{2}$.

• Les intervalles peuvent avoir une borne infinie, et $]-\infty,+\infty[=\mathbb{R}$.

• L’intervalle $[a,a]$ est le singleton $\{a\}$ et sa longueur est nulle.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 7. Bornes et extrema d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Un réel M est un majorant d’une partie A de $\mathbb{R}$ si tout élément x de A vérifie $x\leq M$.
• Minorant : Un réel m est un minorant d’une partie A de $\mathbb{R}$ si tout élément x de A vérifie $x\geq m$.
• Partie bornée : Une partie A de $\mathbb{R}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire s’il existe m,M tels que $m\leq x\leq M$ pour tout x∈A.
• Maximum et minimum : Le maximum de A est un majorant qui appartient à A, et le minimum de A est un minorant qui appartient à A ; s’ils existent, ils sont uniques.
• Borne supérieure : Si A est majorée, sa borne supérieure $\sup A$ est le plus petit de ses majorants.
• Borne inférieure : Si A est minorée, sa borne inférieure $\inf A$ est le plus grand de ses minorants.

📝 Points essentiels

• L’intervalle $]-\infty,1[$ n’a pas de maximum, car 1 n’appartient pas à l’intervalle, et il n’a pas de minimum, car il n’est pas minoré.

📌 Si A n’est pas majorée, $\sup A$ n’existe pas ; si A n’est pas minorée, $\inf A$ n’existe pas ; lorsque le maximum ou le minimum existe, il est respectivement égal à la borne supérieure ou inférieure.

💡 Astuce mémo

Un maximum appartient à l’ensemble ; une borne supérieure peut ne pas lui appartenir.

📖 8. Bornes supérieures et inférieures

★ À maîtriser

• La propriété d’Archimède affirme que, pour tout réel x, il existe un naturel n tel que $n>x$ ; ainsi, $\mathbb{N}$ n’est pas majoré dans $\mathbb{R}$.

• Toute partie non vide de $\mathbb{R}$ majorée admet une borne supérieure, et toute partie non vide minorée admet une borne inférieure.

• Pour une partie non vide A majorée, $M=\sup A$ si et seulement si tout x∈A vérifie $x\leq M$ et que, pour tout $\varepsilon>0$, il existe x∈A tel que $x>M-\varepsilon$.

• Pour une partie non vide A minorée, $m=\inf A$ si et seulement si tout x∈A vérifie $x\geq m$ et que, pour tout $\varepsilon>0$, il existe x∈A tel que $x<m+\varepsilon$.

Compléments

• Pour $A=\{(n-1)/(2n+1):n\in\mathbb{N}^*\}$, la borne supérieure est $\sup A=1/2$.

📐 Formule - Pour deux parties non vides A et B bornées, si $A\subset B$, alors $\sup A\leq\sup B$ et $\inf A\geq\inf B$.

📊 Tableaux de synthèse

Maximum et bornes