QCM : Nombres réels et bornes (24 questions)

Question 1

1. Quelle caractérisation définit l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ ?

Les entiers relatifs auxquels on ajoute les nombres naturels

Les quotients

a/10^n

d’un entier par une puissance de dix

Les nombres dont le développement décimal est fini

Les quotients

p/q

d’entiers, avec

q

non nul

Explication

Un rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers dont le dénominateur est non nul. La forme avec une puissance de dix au dénominateur caractérise les nombres décimaux, qui ne représentent qu’une partie des rationnels.

Answer

Les quotients $$p/q$$ d’entiers, avec $$q$$ non nul

Question 2

2. Un nombre s’écrit $-37/1000$ ; à quel ensemble appartient-il en vertu de cette écriture ?

À l’ensemble

\mathbb{D}

des nombres décimaux, inclus dans

\mathbb{Q}

À l’ensemble des entiers relatifs, inclus dans

\mathbb{Q}

À l’ensemble

\mathbb{Q}

, mais pas à l’ensemble

\mathbb{D}

À l’ensemble des irrationnels, inclus dans

\mathbb{R}

Explication

Le dénominateur $1000$ est une puissance de dix, donc ce nombre appartient à $\mathbb{D}$ , lequel est inclus dans $\mathbb{Q}$ . Un nombre de cette forme est rationnel, mais il n’est pas pour autant exclu des nombres décimaux.

Answer

À l’ensemble $$\mathbb{D}$$ des nombres décimaux, inclus dans $$\mathbb{Q}$$

Question 3

3. Quel critère permet de reconnaître qu’un nombre réel est rationnel à partir de son développement décimal ?

Son développement est fini, mais ne comporte pas de chiffres après la virgule

Son développement est fini ou infini périodique

Son développement est infini et ne présente aucun motif répété

Son développement est infini et comporte une suite de chiffres quelconque

Explication

Un réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est fini ou infini périodique. Un développement infini non périodique correspond au cas opposé et ne permet pas de conclure que le nombre est rationnel.

Answer

Son développement est fini ou infini périodique

Question 4

4. Quelles solutions de l’équation $x^2-2=0$ illustrent que $\mathbb{R}$ contient des nombres qui n’appartiennent pas à $\mathbb{Q}$ ?

0

et

2

2

et

-2

\frac{1}{2}

et

-\frac{1}{2}

\sqrt{2}

et

-\sqrt{2}

Explication

L’équation équivaut à $x^2=2$ et a pour solutions $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ , qui sont réelles et irrationnelles. Les nombres entiers et les fractions proposés dans d’autres choix sont rationnels.

Answer

$$\sqrt{2}$$ et $$-\sqrt{2}$$

Question 5

5. Comment caractérise-t-on l’ensemble des nombres irrationnels parmi les nombres réels ?

Comme les réels qui n’appartiennent pas à

\mathbb{Q}

Comme les nombres qui ne peuvent pas être représentés sur une droite graduée

Comme les réels qui ne sont pas solutions d’une équation du second degré

Comme les rationnels dont le développement décimal est infini périodique

Explication

Les irrationnels sont précisément les éléments de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ . Les développements décimaux infinis périodiques caractérisent au contraire des nombres rationnels.

Answer

Comme les réels qui n’appartiennent pas à $$\mathbb{Q}$$

Question 6

6. Dans une preuve par contradiction de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ , quelle contradiction découle de $p^2=2q^2$ si $p/q$ est supposée irréductible ?

p

est pair et

q

est impair, donc leur PGCD vaut 1

p

et

q

sont tous deux pairs, donc leur PGCD ne vaut pas 1

p

et

q

sont tous deux impairs, donc leur quotient vaut 2

p^2

est impair et

2q^2

est pair, donc l’égalité est possible

Explication

De $p^2=2q^2$ , on déduit que $p$ est pair, puis que $q$ l’est aussi ; ils ont donc un facteur commun 2. Cela contredit l’hypothèse que la fraction $p/q$ est irréductible.

Answer

$$p$$ et $$q$$ sont tous deux pairs, donc leur PGCD ne vaut pas 1

Question 7

7. Quelle structure les opérations usuelles d’addition et de multiplication confèrent-elles à $\mathbb{R}$ ?

Une structure de groupe pour l’addition, sans multiplication définie

Une structure de corps non commutatif où l’addition est distributive sur la multiplication

Une structure de corps commutatif où la multiplication est distributive sur l’addition

Une structure d’ensemble ordonné où la multiplication n’interagit pas avec l’addition

Explication

Avec l’addition et la multiplication usuelles, $\mathbb{R}$ est un corps commutatif et la multiplication est distributive sur l’addition. La distributivité décrit précisément un lien entre ces deux opérations, et non une absence d’interaction.

Answer

Une structure de corps commutatif où la multiplication est distributive sur l’addition

Question 8

8. Pourquoi la relation $\leq$ fait-elle de $\mathbb{R}$ un ensemble totalement ordonné ?

Parce qu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive, et que chaque paire de réels est comparable

Parce qu’elle est symétrique et transitive, et que chaque paire de réels est comparable

Parce qu’elle est antisymétrique et que chaque réel est comparable avec lui-même

Parce qu’elle est réflexive et transitive, même si certaines paires de réels restent incomparables

Explication

L’ordre usuel sur $\mathbb{R}$ possède les propriétés de réflexivité, d’antisymétrie et de transitivité, et toute paire de réels est comparable. Un ordre partiel peut respecter les propriétés d’ordre sans rendre toutes les paires comparables.

Answer

Parce qu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive, et que chaque paire de réels est comparable

Question 9

9. Pour un réel négatif $x$ , quelle expression donne sa valeur absolue ?

0

x

x^2

-x

Explication

Comme $x<0$ , la définition de la valeur absolue donne $|x|=-x$ . L’expression $x$ correspond au cas où le réel est positif ou nul.

Answer

Les réels vérifiant $$-a\leq x\leq a$$

Answer

$$|x+y|\leq |x|+|y|$$ et $$|x-y|\leq |x|+|y|$$

Answer

Le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $$x$$

Answer

$$E(x)\leq x<E(x)+1$$

Answer

Tous les réels de $$[x,y]$$ appartiennent à $$I$$

Answer

Tout élément de $$A$$ est inférieur ou égal à $$M$$.

Answer

Chaque élément de $$A$$ est supérieur ou égal à $$m$$.

Answer

Elle est bornée : ses éléments sont compris entre deux réels fixes.

Answer

Il n’a pas de maximum, car un maximum doit appartenir à l’ensemble.

Answer

Pour tout réel $$x$$, il existe un naturel $$n$$ tel que $$n>x$$.

Answer

Toute partie non vide majorée admet une borne supérieure.

Answer

Tout $$x\in A$$ vérifie $$x\leq M$$ et, pour tout $$\varepsilon>0$$, un $$x\in A$$ vérifie $$x>M-\varepsilon$$.

Answer

Tout $$x\in A$$ vérifie $$x\geq m$$ et, pour tout $$\varepsilon>0$$, un $$x\in A$$ vérifie $$x<m+\varepsilon$$.

Question 10

10. Si $a>0$ , quel ensemble décrit les réels $x$ tels que $|x|\leq a$ ?

Les réels vérifiant

x\leq -a

ou

x\geq a

Les réels vérifiant

-a\leq x\leq a

Les réels vérifiant

-a<x<a

Les réels vérifiant

0\leq x\leq a

Explication

La condition $|x|\leq a$ équivaut à $-a\leq x\leq a$ , avec les deux bornes incluses. L’intervalle ouvert exclut les cas $x=-a$ et $x=a$ , qui satisfont pourtant l’inégalité.

Question 11

11. Pour deux réels $x$ et $y$ , quelle affirmation exprime l’inégalité triangulaire ?

|x+y|=|x|+|y|

et

|x-y|=|x|+|y|

|x+y|\leq |x|+|y|

et

|x-y|\leq |x|+|y|

|x+y|\geq |x|+|y|

et

|x-y|\geq |x|+|y|

|x+y|\leq |x|+|y|

et

|x-y|\geq |x|+|y|

Explication

L’inégalité triangulaire fournit les deux majorations par la somme $|x|+|y|$ . Remplacer ces majorations par des égalités n’est pas valide pour tous les réels, car les signes de $x$ et $y$ peuvent entraîner une compensation.

Question 12

12. Quelle expression représente la distance entre deux réels $x$ et $y$ ?

|x|+|y|

|x-y|

|x|

x-y

Explication

La distance entre deux réels est définie par $d(x,y)=|x-y|$ , ce qui ne dépend pas de l’ordre choisi pour les deux points. L’expression $|x|$ mesure plutôt la distance de $x$ à zéro.

Question 13

13. Comment définir la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

Le plus grand entier relatif strictement inférieur à

x

Le plus grand entier relatif inférieur ou égal à

x

L’entier relatif le plus proche de

x

Le plus petit entier relatif supérieur ou égal à

x

Explication

La partie entière est le plus grand entier $n$ tel que $n\leq x$ . L’entier supérieur ou égal à $x$ correspond à une autre règle d’arrondi, et non à cette définition.

Question 14

14. Quel encadrement caractérise l’unique entier $E(x)$ pour un réel $x$ ?

E(x)<x\leq E(x)+1

E(x)-1<x\leq E(x)

E(x)\leq x\leq E(x)+1

E(x)\leq x<E(x)+1

Explication

La partie entière est l’entier situé immédiatement en dessous de $x$ ou égal à $x$ , d’où $E(x)\leq x<E(x)+1$ . Pour un réel non entier, l’encadrement strict du côté gauche est incorrect.

Question 15

15. Une partie non vide $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si, dès que $x<y$ appartiennent à $I$ , quelle condition est satisfaite ?

Tous les entiers de

[x,y]

appartiennent à

I

Tous les réels situés hors de

[x,y]

appartiennent à

I

Tous les réels de

[x,y]

appartiennent à

I

Les extrémités

x

et

y

sont exclues de

I

Explication

Un intervalle contient tout réel compris entre deux de ses éléments, donc $[x,y]\subset I$ . La condition ne porte pas seulement sur les entiers compris entre ces deux éléments.

Question 16

16. Pour $a<b$ , quel intervalle contient $a$ mais exclut $b$ ?

]a,b]

[a,b[

]a,b[

[a,b]

Explication

Dans $[a,b[$ , le crochet à gauche inclut $a$ et le crochet ouvert à droite exclut $b$ . L’intervalle $]a,b]$ fait le contraire : il exclut $a$ et inclut $b$ .

Question 17

17. Quel critère caractérise un réel $M$ comme majorant d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

Tout élément de

A

est inférieur ou égal à

M

.

Le réel

M

est le plus petit élément de

A

.

Tout élément de

A

est supérieur ou égal à

M

.

Le réel

M

appartient à

A

et dépasse les autres éléments.

Explication

Un majorant est un réel qui est supérieur ou égal à chacun des éléments de la partie. L’appartenance à $A$ n’est pas requise pour être un majorant.

Question 18

18. Pour qu’un réel $m$ soit un minorant de $A\subset\mathbb{R}$ , quelle condition doit-il satisfaire ?

Chaque élément de

A

est inférieur ou égal à

m

.

Chaque élément de

A

est supérieur ou égal à

m

.

Le réel

m

appartient à

A

et est son plus grand élément.

Le réel

m

est le plus petit des majorants de

A

.

Explication

Un minorant se situe en dessous de tous les éléments de $A$ , au sens où chacun est supérieur ou égal à lui. Un minorant n’a pas besoin d’appartenir à $A$ .

Question 19

19. Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ possède à la fois un majorant et un minorant. Comment la caractérise-t-on ?

Elle est finie : elle contient un nombre limité d’éléments.

Elle est positive : tous ses éléments sont supérieurs ou égaux à zéro.

Elle admet un maximum et un minimum appartenant à la partie.

Elle est bornée : ses éléments sont compris entre deux réels fixes.

Explication

Une partie est bornée lorsqu’il existe des réels $m$ et $M$ tels que $m\leq x\leq M$ pour tout $x\in A$ . Être bornée n’implique pas que les bornes soient des éléments de la partie.

Question 20

20. Un ensemble possède plusieurs majorants, mais aucun de ces majorants n’appartient à l’ensemble. Que peut-on conclure sur son maximum ?

Il a pour maximum le plus petit de ses majorants, même s’il est extérieur.

Il a pour maximum son plus grand minorant, qu’il appartienne ou non à l’ensemble.

Il a un maximum dès qu’il possède au moins un majorant.

Il n’a pas de maximum, car un maximum doit appartenir à l’ensemble.

Explication

Le maximum doit être à la fois un majorant et un élément de l’ensemble; les majorants extérieurs ne sont donc pas des maxima. Le plus petit majorant peut être une borne supérieure sans appartenir à l’ensemble.

Question 21

21. Pourquoi l’ensemble $\mathbb{N}$ n’est-il pas majoré dans $\mathbb{R}$ ?

Pour tout réel

x

, il existe un naturel

n

tel que

n>x

.

Les naturels possèdent une borne supérieure qui n’est pas un réel.

Chaque naturel est inférieur à tous les réels strictement positifs.

Tout réel positif appartient à

\mathbb{N}

, ce qui empêche de le majorer.

Explication

La propriété d’Archimède garantit qu’un naturel dépasse n’importe quel réel donné, donc aucun réel ne peut majorer $\mathbb{N}$ . Le fait que des réels positifs n’appartiennent pas aux naturels n’explique pas l’absence de majorant.

Question 22

22. Quel résultat garantit l’existence d’une borne supérieure pour une partie non vide de $\mathbb{R}$ qui est majorée ?

Toute partie non vide possède une borne supérieure, même si elle n’est pas majorée.

Toute partie non vide majorée possède un maximum dans la partie.

Toute partie non vide majorée admet une borne supérieure.

Toute partie majorée, même vide, admet une borne supérieure réelle.

Explication

Toute partie non vide de $\mathbb{R}$ qui est majorée admet une borne supérieure. Ce résultat ne garantit pas l’existence d’un maximum appartenant à la partie.

Question 23

23. Une partie non vide $A\subset\mathbb{R}$ est majorée. Quelle condition caractérise $M=\sup A$ au moyen de tout $\varepsilon>0$ ?

Tout

x\in A

vérifie

x\geq M

et, pour tout

\varepsilon>0

, un

x\in A

vérifie

x<M+\varepsilon

.

Tout

x\in A

vérifie

x<M

et, pour tout

\varepsilon>0

, un

x\in A

vérifie

x\leq M-\varepsilon

.

Tout

x\in A

vérifie

x\leq M

et, pour tout

\varepsilon>0

, un

x\in A

vérifie

x<M-\varepsilon

.

Tout

x\in A

vérifie

x\leq M

et, pour tout

\varepsilon>0

, un

x\in A

vérifie

x>M-\varepsilon

.

Explication

La borne supérieure majore la partie, et des éléments de celle-ci se trouvent à moins de $\varepsilon$ sous $M$ , aussi près de $M$ qu’on le souhaite. La condition $x\geq M$ décrit une relation incompatible avec le rôle de majorant.

Question 24

24. Une partie non vide $A\subset\mathbb{R}$ est minorée. Quelle condition caractérise $m=\inf A$ ?

Tout

x\in A

vérifie

x\geq m

et, pour tout

\varepsilon>0

, un

x\in A

vérifie

x<m+\varepsilon

.

Tout

x\in A

vérifie

x\leq m

et, pour tout

\varepsilon>0

, un

x\in A

vérifie

x>m-\varepsilon

.

Tout

x\in A

vérifie

x\geq m

et, pour tout

\varepsilon>0

, un

x\in A

vérifie

x>m+\varepsilon

.

Tout

x\in A

vérifie

x>m

et, pour tout

\varepsilon>0

, un

x\in A

vérifie

x\geq m+\varepsilon

.

Explication

La borne inférieure est un minorant, et des éléments de la partie se trouvent à moins de $\varepsilon$ au-dessus de $m$ . La condition $x\leq m$ exprime plutôt que $m$ majore la partie.

QCM : Nombres réels et bornes (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractérisation définit l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ ?

2. Un nombre s’écrit $-37/1000$ ; à quel ensemble appartient-il en vertu de cette écriture ?

3. Quel critère permet de reconnaître qu’un nombre réel est rationnel à partir de son développement décimal ?

4. Quelles solutions de l’équation $x^2-2=0$ illustrent que $\mathbb{R}$ contient des nombres qui n’appartiennent pas à $\mathbb{Q}$ ?

5. Comment caractérise-t-on l’ensemble des nombres irrationnels parmi les nombres réels ?

6. Dans une preuve par contradiction de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ , quelle contradiction découle de $p^2=2q^2$ si $p/q$ est supposée irréductible ?

7. Quelle structure les opérations usuelles d’addition et de multiplication confèrent-elles à $\mathbb{R}$ ?

8. Pourquoi la relation $\leq$ fait-elle de $\mathbb{R}$ un ensemble totalement ordonné ?

9. Pour un réel négatif $x$ , quelle expression donne sa valeur absolue ?

10. Si $a>0$ , quel ensemble décrit les réels $x$ tels que $|x|\leq a$ ?

11. Pour deux réels $x$ et $y$ , quelle affirmation exprime l’inégalité triangulaire ?

12. Quelle expression représente la distance entre deux réels $x$ et $y$ ?

13. Comment définir la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

14. Quel encadrement caractérise l’unique entier $E(x)$ pour un réel $x$ ?

15. Une partie non vide $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si, dès que $x<y$ appartiennent à $I$ , quelle condition est satisfaite ?

16. Pour $a<b$ , quel intervalle contient $a$ mais exclut $b$ ?

17. Quel critère caractérise un réel $M$ comme majorant d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

18. Pour qu’un réel $m$ soit un minorant de $A\subset\mathbb{R}$ , quelle condition doit-il satisfaire ?

19. Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ possède à la fois un majorant et un minorant. Comment la caractérise-t-on ?

20. Un ensemble possède plusieurs majorants, mais aucun de ces majorants n’appartient à l’ensemble. Que peut-on conclure sur son maximum ?

21. Pourquoi l’ensemble $\mathbb{N}$ n’est-il pas majoré dans $\mathbb{R}$ ?

22. Quel résultat garantit l’existence d’une borne supérieure pour une partie non vide de $\mathbb{R}$ qui est majorée ?

23. Une partie non vide $A\subset\mathbb{R}$ est majorée. Quelle condition caractérise $M=\sup A$ au moyen de tout $\varepsilon>0$ ?

24. Une partie non vide $A\subset\mathbb{R}$ est minorée. Quelle condition caractérise $m=\inf A$ ?

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QCM : Nombres réels et bornes (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractérisation définit l’ensemble des nombres rationnels Q\mathbb{Q}Q ?

2. Un nombre s’écrit −37/1000-37/1000−37/1000 ; à quel ensemble appartient-il en vertu de cette écriture ?

3. Quel critère permet de reconnaître qu’un nombre réel est rationnel à partir de son développement décimal ?

4. Quelles solutions de l’équation x2−2=0x^2-2=0x2−2=0 illustrent que R\mathbb{R}R contient des nombres qui n’appartiennent pas à Q\mathbb{Q}Q ?

5. Comment caractérise-t-on l’ensemble des nombres irrationnels parmi les nombres réels ?

6. Dans une preuve par contradiction de l’irrationalité de 2\sqrt{2}2​, quelle contradiction découle de p2=2q2p^2=2q^2p2=2q2 si p/qp/qp/q est supposée irréductible ?

7. Quelle structure les opérations usuelles d’addition et de multiplication confèrent-elles à R\mathbb{R}R ?

8. Pourquoi la relation ≤\leq≤ fait-elle de R\mathbb{R}R un ensemble totalement ordonné ?

9. Pour un réel négatif xxx, quelle expression donne sa valeur absolue ?

10. Si a>0a>0a>0, quel ensemble décrit les réels xxx tels que ∣x∣≤a|x|\leq a∣x∣≤a ?

11. Pour deux réels xxx et yyy, quelle affirmation exprime l’inégalité triangulaire ?

12. Quelle expression représente la distance entre deux réels xxx et yyy ?

13. Comment définir la partie entière E(x)E(x)E(x) d’un réel xxx ?

14. Quel encadrement caractérise l’unique entier E(x)E(x)E(x) pour un réel xxx ?

15. Une partie non vide III de R\mathbb{R}R est un intervalle si, dès que x<yx<yx<y appartiennent à III, quelle condition est satisfaite ?

16. Pour a<ba<ba<b, quel intervalle contient aaa mais exclut bbb ?

17. Quel critère caractérise un réel MMM comme majorant d’une partie AAA de R\mathbb{R}R ?

18. Pour qu’un réel mmm soit un minorant de A⊂RA\subset\mathbb{R}A⊂R, quelle condition doit-il satisfaire ?

19. Une partie AAA de R\mathbb{R}R possède à la fois un majorant et un minorant. Comment la caractérise-t-on ?

20. Un ensemble possède plusieurs majorants, mais aucun de ces majorants n’appartient à l’ensemble. Que peut-on conclure sur son maximum ?

21. Pourquoi l’ensemble N\mathbb{N}N n’est-il pas majoré dans R\mathbb{R}R ?

22. Quel résultat garantit l’existence d’une borne supérieure pour une partie non vide de R\mathbb{R}R qui est majorée ?

23. Une partie non vide A⊂RA\subset\mathbb{R}A⊂R est majorée. Quelle condition caractérise M=sup⁡AM=\sup AM=supA au moyen de tout ε>0\varepsilon>0ε>0 ?

24. Une partie non vide A⊂RA\subset\mathbb{R}A⊂R est minorée. Quelle condition caractérise m=inf⁡Am=\inf Am=infA ?

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1. Quelle caractérisation définit l’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ ?

2. Un nombre s’écrit $-37/1000$ ; à quel ensemble appartient-il en vertu de cette écriture ?

4. Quelles solutions de l’équation $x^2-2=0$ illustrent que $\mathbb{R}$ contient des nombres qui n’appartiennent pas à $\mathbb{Q}$ ?

6. Dans une preuve par contradiction de l’irrationalité de $\sqrt{2}$ , quelle contradiction découle de $p^2=2q^2$ si $p/q$ est supposée irréductible ?

7. Quelle structure les opérations usuelles d’addition et de multiplication confèrent-elles à $\mathbb{R}$ ?

8. Pourquoi la relation $\leq$ fait-elle de $\mathbb{R}$ un ensemble totalement ordonné ?

9. Pour un réel négatif $x$ , quelle expression donne sa valeur absolue ?

10. Si $a>0$ , quel ensemble décrit les réels $x$ tels que $|x|\leq a$ ?

11. Pour deux réels $x$ et $y$ , quelle affirmation exprime l’inégalité triangulaire ?

12. Quelle expression représente la distance entre deux réels $x$ et $y$ ?

13. Comment définir la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

14. Quel encadrement caractérise l’unique entier $E(x)$ pour un réel $x$ ?

15. Une partie non vide $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si, dès que $x<y$ appartiennent à $I$ , quelle condition est satisfaite ?

16. Pour $a<b$ , quel intervalle contient $a$ mais exclut $b$ ?

17. Quel critère caractérise un réel $M$ comme majorant d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

18. Pour qu’un réel $m$ soit un minorant de $A\subset\mathbb{R}$ , quelle condition doit-il satisfaire ?

19. Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ possède à la fois un majorant et un minorant. Comment la caractérise-t-on ?

21. Pourquoi l’ensemble $\mathbb{N}$ n’est-il pas majoré dans $\mathbb{R}$ ?

22. Quel résultat garantit l’existence d’une borne supérieure pour une partie non vide de $\mathbb{R}$ qui est majorée ?

23. Une partie non vide $A\subset\mathbb{R}$ est majorée. Quelle condition caractérise $M=\sup A$ au moyen de tout $\varepsilon>0$ ?

24. Une partie non vide $A\subset\mathbb{R}$ est minorée. Quelle condition caractérise $m=\inf A$ ?