QCM : Limites de suites numériques (15 questions)

Question 1

1. Comment peut-on définir une suite numérique $(u_n)$ ?

Comme une liste finie de nombres réels sans indice naturel

Comme une application qui associe à chaque entier naturel

n

un nombre réel

u_n

Comme une fonction qui associe à chaque entier naturel un autre entier naturel

Comme une application qui associe à chaque nombre réel un entier naturel

Explication

Une suite numérique associe à tout entier naturel $n$ un terme réel $u_n$ . Une fonction définie sur les réels, par exemple, n’est pas la définition donnée pour une suite.

Answer

Comme une application qui associe à chaque entier naturel $$n$$ un nombre réel $$u_n$$

Question 2

2. Une suite admet pour limite le réel $L$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ; quelle propriété décrit alors cette suite ?

Elle converge vers une limite finie

Elle diverge vers une limite infinie

Elle est nécessairement bornée dès son premier terme

Elle est nécessairement croissante

Explication

Une suite converge dès lors qu’elle admet une limite finie quand son indice tend vers $+\infty$ . Une suite croissante n’est pas forcément convergente, car elle peut tendre vers $+\infty$ .

Answer

Elle converge vers une limite finie

Question 3

3. Une suite n’admet aucune limite finie et oscille sans se stabiliser ; comment la qualifie-t-on ?

Elle est constante à l’infini, même si ses termes oscillent

Elle diverge, car elle n’a pas de limite finie

Elle converge, car ses termes restent dans un intervalle

Elle est majorée, ce qui garantit sa convergence

Explication

Une suite divergente n’a pas de limite finie ; elle peut notamment ne pas avoir de limite du tout. Le fait que ses termes restent bornés ne garantit pas la convergence, comme le montre une suite oscillante.

Answer

Elle diverge, car elle n’a pas de limite finie

Question 4

4. Si $u_n\to 4$ et $v_n\to -7$ , vers quelle limite tend la somme $u_n+v_n$ ?

Vers

11

, somme de leurs valeurs absolues

Vers

-28

, produit des deux limites

Vers

0

, car les limites ont des signes opposés

Vers

-3

, somme des deux limites

Explication

La limite d’une somme est la somme des limites, donc $4+(-7)=-3$ . Le produit des limites donnerait la limite du produit, pas celle de la somme.

Answer

Vers $$-3$$, somme des deux limites

Question 5

5. Dans l’étude d’un produit, une suite tend vers $0$ et l’autre vers $+\infty$ ; comment caractérise-t-on cette situation ?

Le produit tend vers une limite finie égale à la limite du facteur divergent

C’est une forme indéterminée, qui exige des informations supplémentaires

Le produit tend nécessairement vers

0

puisque l’un des facteurs tend vers zéro

Le produit tend nécessairement vers

+\infty

puisque l’un des facteurs diverge

Explication

Le produit d’une suite tendant vers zéro par une suite tendant vers $+\infty$ est une forme indéterminée. Le facteur qui tend vers zéro ne suffit donc pas à conclure que le produit tend vers zéro.

Answer

C’est une forme indéterminée, qui exige des informations supplémentaires

Question 6

6. Pour une suite géométrique de raison $q=0{,}6$ , quelle est la limite de $q^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

La suite n’a pas de limite, car ses termes sont positifs

1

, car toute raison positive donne cette limite

+\infty

, car la raison est supérieure à zéro

0

, car

-1<q<1

Explication

Lorsque $-1<q<1$ , les puissances $q^n$ tendent vers zéro ; la raison $0{,}6$ appartient à cet intervalle. La limite égale à $1$ correspond au cas particulier $q=1$ .

Answer

$$0$$, car $$-1<q<1$$

Question 7

7. Une suite géométrique a pour raison $q=-1{,}4$ ; quel comportement ont ses termes $q^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Ils n’ont pas de limite et la suite diverge

Ils tendent vers

0

, car la valeur absolue de la raison est proche de

1

Ils tendent vers

1

, comme pour une raison égale à

1

Ils tendent vers

+\infty

sans changer de signe

Explication

Puisque $q\le -1$ , les puissances $q^n$ n’ont pas de limite et la suite diverge. La convergence vers zéro concerne les raisons vérifiant $-1<q<1$ , condition non satisfaite ici.

Answer

Ils n’ont pas de limite et la suite diverge

Question 8

8. Pourquoi une expression de limites comme $+\infty-+\infty$ est-elle qualifiée de forme indéterminée ?

La différence de deux suites divergentes possède toujours une limite infinie.

Les deux termes ont nécessairement la même limite et leur différence vaut zéro.

Les règles de calcul des limites s’appliquent directement et donnent une valeur finie.

Les opérations directes sur les limites ne permettent pas de conclure sans transformer l’expression.

Explication

Une forme indéterminée signale que le calcul direct des limites ne suffit pas et qu’une transformation est nécessaire. Contrairement à une idée tentante, deux termes qui divergent vers l’infini ne permettent pas de déterminer directement la limite de leur différence.

Answer

Les opérations directes sur les limites ne permettent pas de conclure sans transformer l’expression.

Question 9

9. Pour étudier $n^2-n$ lorsque $n\to +\infty$ , quelle transformation permet de lever la forme $+\infty-\infty$ ?

Factoriser par

n^2

pour obtenir

n^2(1-1/n)

, qui tend vers

+\infty

.

Factoriser par

n

pour obtenir

n(n-1)

, puis conclure que la limite vaut zéro.

Diviser par

n^2

et conclure que l’expression initiale tend vers un.

Remplacer chaque terme par sa limite, puis soustraire les deux infinis.

Explication

La factorisation par le terme de plus haut degré donne $n^2(1-1/n)$ : le facteur entre parenthèses tend vers un et le produit tend vers $+\infty$ . Diviser par $n^2$ et ne considérer que le quotient reviendrait à étudier une expression différente de la suite initiale.

Answer

Factoriser par $$n^2$$ pour obtenir $$n^2(1-1/n)$$, qui tend vers $$+\infty$$.

Question 10

10. Pour déterminer la limite de $\frac{n^3+1}{n}$ , quelle démarche traite correctement la forme $\infty/\infty$ ?

Factoriser le numérateur par

n^3

et le dénominateur par

n

, puis simplifier pour obtenir

n^2(1+1/n^3)

.

Soustraire le dénominateur du numérateur, puis appliquer les règles de la forme

+\infty-\infty

.

Remplacer le numérateur et le dénominateur par leurs limites, puis attribuer une valeur au quotient.

Diviser le numérateur par

n^3

et remplacer la fraction initiale par

1+1/n^3

.

Explication

La mise en facteur des termes dominants puis la simplification donnent $n^2(1+1/n^3)$ , qui tend vers $+\infty$ . La quantité $1+1/n^3$ seule est un facteur obtenu lors du calcul, et non la fraction initiale.

Answer

Factoriser le numérateur par $$n^3$$ et le dénominateur par $$n$$, puis simplifier pour obtenir $$n^2(1+1/n^3)$$.

Question 11

11. À partir d’un certain rang, une suite vérifie $v_n\le u_n\le w_n$ , avec $v_n\to L$ et $w_n\to L$ pour un réel $L$ . Que peut-on conclure ?

La suite

u_n

diverge vers

+\infty

parce qu’elle est encadrée.

La suite

u_n

converge vers

L

par le théorème des gendarmes.

La suite

u_n

est croissante et converge vers sa borne supérieure.

La suite

u_n

converge vers zéro, quelle que soit la valeur de

L

.

Explication

Lorsque les deux suites qui encadrent $u_n$ convergent vers la même limite finie, le théorème des gendarmes impose que $u_n$ converge vers cette limite. L’encadrement seul ne démontre pas que $u_n$ est croissante.

Answer

La suite $$u_n$$ converge vers $$L$$ par le théorème des gendarmes.

Question 12

12. Une suite $u_n$ vérifie $u_n\ge v_n$ , et $v_n\to +\infty$ . Quel comportement de $u_n$ en découle ?

La suite

u_n

oscille nécessairement, puisque l’inégalité ne fixe pas sa valeur exacte.

La suite

u_n

converge vers une limite finie, car elle est minorée par

v_n

.

La suite

u_n

tend vers

+\infty

, car elle reste au-dessus d’une suite qui diverge vers

+\infty

.

La suite

u_n

tend vers

-\infty

, car l’écart avec

v_n

peut augmenter.

Explication

Une suite qui est supérieure à partir des indices considérés à une suite tendant vers $+\infty$ tend elle-même vers $+\infty$ . Une minoration par $v_n$ ne fournit pas une limite finie lorsque cette borne inférieure diverge vers l’infini.

Answer

La suite $$u_n$$ tend vers $$+\infty$$, car elle reste au-dessus d’une suite qui diverge vers $$+\infty$$.

Question 13

13. Une suite est croissante et possède un majorant réel. Quelle conclusion le théorème de convergence des suites monotones autorise-t-il ?

Elle doit être constante à partir d’un certain rang.

Elle converge vers zéro dès qu’elle est bornée au-dessus.

Elle converge vers une limite finie.

Elle diverge vers

+\infty

parce qu’elle est croissante.

Explication

Toute suite croissante et majorée converge, et sa limite est finie. La croissance n’entraîne pas une divergence vers $+\infty$ lorsque la suite possède un majorant.

Answer

Elle converge vers une limite finie.

Question 14

14. Pour étudier la limite du polynôme $3n^4-2n^2+5$ lorsque $n\to +\infty$ , quelle méthode convient ?

Mettre

n^4

en facteur afin de faire apparaître le terme dominant.

Mettre le terme constant en facteur afin de comparer les coefficients.

Remplacer directement chaque puissance de

n

par sa limite infinie.

Mettre

n^2

en facteur afin de supprimer les puissances supérieures.

Explication

Pour un polynôme en $n$ , on met en facteur la plus grande puissance de $n$ , ici $n^4$ , afin de faire ressortir le terme dominant. Remplacer séparément tous les termes par l’infini ne permet pas de traiter leur combinaison de façon rigoureuse.

Answer

Mettre $$n^4$$ en facteur afin de faire apparaître le terme dominant.

Question 15

15. Pour calculer la limite d’une fraction rationnelle $P(n)/Q(n)$ quand $n\to +\infty$ , quelle démarche est prescrite ?

Soustraire le dénominateur du numérateur avant d’étudier la limite.

Développer tous les produits et remplacer chaque puissance par sa limite.

Factoriser uniquement le numérateur, puis considérer le dénominateur comme une constante.

Mettre en facteur les termes dominants au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.

Explication

Pour une fraction rationnelle, on met en facteur le terme dominant au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie. Traiter le dénominateur comme une constante ignorerait son évolution lorsque $n$ tend vers l’infini.

Answer

Mettre en facteur les termes dominants au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.

QCM : Limites de suites numériques (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment peut-on définir une suite numérique $(u_n)$ ?

2. Une suite admet pour limite le réel $L$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ; quelle propriété décrit alors cette suite ?

3. Une suite n’admet aucune limite finie et oscille sans se stabiliser ; comment la qualifie-t-on ?

4. Si $u_n\to 4$ et $v_n\to -7$ , vers quelle limite tend la somme $u_n+v_n$ ?

5. Dans l’étude d’un produit, une suite tend vers $0$ et l’autre vers $+\infty$ ; comment caractérise-t-on cette situation ?

6. Pour une suite géométrique de raison $q=0{,}6$ , quelle est la limite de $q^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

7. Une suite géométrique a pour raison $q=-1{,}4$ ; quel comportement ont ses termes $q^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

8. Pourquoi une expression de limites comme $+\infty-+\infty$ est-elle qualifiée de forme indéterminée ?

9. Pour étudier $n^2-n$ lorsque $n\to +\infty$ , quelle transformation permet de lever la forme $+\infty-\infty$ ?

10. Pour déterminer la limite de $\frac{n^3+1}{n}$ , quelle démarche traite correctement la forme $\infty/\infty$ ?

11. À partir d’un certain rang, une suite vérifie $v_n\le u_n\le w_n$ , avec $v_n\to L$ et $w_n\to L$ pour un réel $L$ . Que peut-on conclure ?

12. Une suite $u_n$ vérifie $u_n\ge v_n$ , et $v_n\to +\infty$ . Quel comportement de $u_n$ en découle ?

13. Une suite est croissante et possède un majorant réel. Quelle conclusion le théorème de convergence des suites monotones autorise-t-il ?

14. Pour étudier la limite du polynôme $3n^4-2n^2+5$ lorsque $n\to +\infty$ , quelle méthode convient ?

15. Pour calculer la limite d’une fraction rationnelle $P(n)/Q(n)$ quand $n\to +\infty$ , quelle démarche est prescrite ?

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QCM : Limites de suites numériques (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment peut-on définir une suite numérique (un) (u_n) (un​) ?

2. Une suite admet pour limite le réel LLL lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ; quelle propriété décrit alors cette suite ?

3. Une suite n’admet aucune limite finie et oscille sans se stabiliser ; comment la qualifie-t-on ?

4. Si un→4u_n\to 4un​→4 et vn→−7v_n\to -7vn​→−7, vers quelle limite tend la somme un+vnu_n+v_nun​+vn​ ?

5. Dans l’étude d’un produit, une suite tend vers 000 et l’autre vers +∞+\infty+∞ ; comment caractérise-t-on cette situation ?

6. Pour une suite géométrique de raison q=0,6q=0{,}6q=0,6, quelle est la limite de qnq^nqn lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

7. Une suite géométrique a pour raison q=−1,4q=-1{,}4q=−1,4 ; quel comportement ont ses termes qnq^nqn lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

8. Pourquoi une expression de limites comme +∞−+∞+\infty-+\infty+∞−+∞ est-elle qualifiée de forme indéterminée ?

9. Pour étudier n2−nn^2-nn2−n lorsque n→+∞n\to +\inftyn→+∞, quelle transformation permet de lever la forme +∞−∞+\infty-\infty+∞−∞ ?

10. Pour déterminer la limite de n3+1n\frac{n^3+1}{n}nn3+1​, quelle démarche traite correctement la forme ∞/∞\infty/\infty∞/∞ ?

11. À partir d’un certain rang, une suite vérifie vn≤un≤wnv_n\le u_n\le w_nvn​≤un​≤wn​, avec vn→Lv_n\to Lvn​→L et wn→Lw_n\to Lwn​→L pour un réel LLL. Que peut-on conclure ?

12. Une suite unu_nun​ vérifie un≥vnu_n\ge v_nun​≥vn​, et vn→+∞v_n\to +\inftyvn​→+∞. Quel comportement de unu_nun​ en découle ?

13. Une suite est croissante et possède un majorant réel. Quelle conclusion le théorème de convergence des suites monotones autorise-t-il ?

14. Pour étudier la limite du polynôme 3n4−2n2+53n^4-2n^2+53n4−2n2+5 lorsque n→+∞n\to +\inftyn→+∞, quelle méthode convient ?

15. Pour calculer la limite d’une fraction rationnelle P(n)/Q(n)P(n)/Q(n)P(n)/Q(n) quand n→+∞n\to +\inftyn→+∞, quelle démarche est prescrite ?

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1. Comment peut-on définir une suite numérique $(u_n)$ ?

2. Une suite admet pour limite le réel $L$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ; quelle propriété décrit alors cette suite ?

4. Si $u_n\to 4$ et $v_n\to -7$ , vers quelle limite tend la somme $u_n+v_n$ ?

5. Dans l’étude d’un produit, une suite tend vers $0$ et l’autre vers $+\infty$ ; comment caractérise-t-on cette situation ?

6. Pour une suite géométrique de raison $q=0{,}6$ , quelle est la limite de $q^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

7. Une suite géométrique a pour raison $q=-1{,}4$ ; quel comportement ont ses termes $q^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

8. Pourquoi une expression de limites comme $+\infty-+\infty$ est-elle qualifiée de forme indéterminée ?

9. Pour étudier $n^2-n$ lorsque $n\to +\infty$ , quelle transformation permet de lever la forme $+\infty-\infty$ ?

10. Pour déterminer la limite de $\frac{n^3+1}{n}$ , quelle démarche traite correctement la forme $\infty/\infty$ ?

11. À partir d’un certain rang, une suite vérifie $v_n\le u_n\le w_n$ , avec $v_n\to L$ et $w_n\to L$ pour un réel $L$ . Que peut-on conclure ?

12. Une suite $u_n$ vérifie $u_n\ge v_n$ , et $v_n\to +\infty$ . Quel comportement de $u_n$ en découle ?

14. Pour étudier la limite du polynôme $3n^4-2n^2+5$ lorsque $n\to +\infty$ , quelle méthode convient ?

15. Pour calculer la limite d’une fraction rationnelle $P(n)/Q(n)$ quand $n\to +\infty$ , quelle démarche est prescrite ?