Fiche de révision : Mathématiques : nombres et proportionnalité

📋 Plan du Cours

1. Méthodes de dénombrement
2. Numération, changements de base et ensembles de nombres
3. Opérations et propriétés de calcul
4. Relatifs, fractions et puissances
5. Divisibilité et nombres premiers
6. Fonctions linéaires et proportionnalité
7. Vitesse, pourcentages et échelle
8. Représentations de données
9. Graphiques et vocabulaire statistique
10. Probabilités et événements
11. Calcul littéral et équations
12. Formules et tableur
13. Géométrie plane et angles
14. Démonstrations et propriétés géométriques
15. Pythagore, Thalès et trigonométrie
16. Transformations et triangles
17. Géométrie dans l’espace
18. Périmètres, aires, volumes et grandeurs

📖 1. Méthodes de dénombrement

📝 Points essentiels

• Un tableau à double entrée permet de dénombrer les choix de chiffres en croisant unités et dizaines ; avec les chiffres 1, 2 et 3, les possibilités sont 9 avec répétition et 6 sans répétition.

• Un arbre de choix représente les choix successifs ; pour former un nombre de trois chiffres avec 1, 2 et 3, il donne 27 possibilités avec répétition et 6 sans répétition, soit 123, 132, 213, 231, 312 et 321.

📖 2. Numération, changements de base et ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Les nombres naturels forment l’ensemble $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$.
• Nombres relatifs : Les nombres relatifs forment l’ensemble des entiers positifs, négatifs et de zéro, soit $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1{,}0{,}1{,}2,\ldots\}$.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal possède une écriture décimale finie et peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$.
• Nombres opposés : Deux nombres sont opposés lorsque leur somme est égale à 0, comme 6 et −6.

★ À maîtriser

• Pour convertir un entier de la base 10 vers la base b, on effectue des divisions successives par b et on lit les restes de la dernière division à la première.

📐 Formule - La conversion d’un nombre écrit en base b vers la base 10 consiste à additionner chaque chiffre multiplié par la puissance de b correspondant à son rang, comme dans $2050_6=(2\times6^3)+(0\times6^2)+(5\times6^1)+(0\times6^0)=462_{10}$.

📌 Les nombres composés s’écrivent en lettres avec des traits d’union entre chaque élément ; vingt et cent s’accordent seulement lorsqu’ils sont multipliés et non suivis d’un autre nombre, mille est invariable, et millier, million et milliard s’accordent.

📌 Un nombre rationnel peut s’écrire comme une fraction d’entiers et son écriture décimale est finie ou périodique, tandis qu’un nombre irrationnel n’est pas une fraction et possède une écriture décimale non périodique, comme π.

Compléments

• Les rangs de gauche à droite sont :

  • unités de mille
  • centaines
  • dizaines
  • unités
  • dixièmes
  • centièmes
  • millièmes

• Le nombre 69 en base 10 s’écrit 234 en base 5, car il correspond à 2 paquets de 25, 3 paquets de 5 et 4 unités.

• Pour convertir une partie décimale en base 2, on multiplie successivement la partie fractionnaire par 2 et on relève les parties entières obtenues dans l’ordre ; ainsi, 0,6 en base 10 donne la période 1001 en base 2.

📌 Une fraction irréductible représente un nombre décimal si son dénominateur ne contient que les facteurs premiers 2 et 5, c’est-à-dire s’il est de la forme $2^p\times5^q$.

📐 Formule - La notation scientifique d’un nombre s’écrit sous la forme $a\times10^p$ ; par exemple, $4508=4{,}508\times10^3$.

📌 Une valeur approchée par défaut est inférieure au nombre, une valeur approchée par excès lui est supérieure, l’arrondi dépend du chiffre suivant le rang retenu et la troncature supprime les chiffres suivants sans les modifier.

📐 Formule - Pour deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, l’égalité est vérifiée si et seulement si $a\times d=b\times c$.

📖 3. Opérations et propriétés de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication : Multiplier a par b revient à additionner a à lui-même b fois ; le produit peut aussi dénombrer les couples formés entre deux ensembles, comme les 12 couples obtenus avec 3 éléments et 4 éléments.
• Addition cardinale : La réunion de deux ensembles A et B.
• Soustraction cardinale : L’ensemble complémentaire de B dans A.

★ À maîtriser

📐 Formule - La soustraction $a-b=x$ équivaut à l’addition $b+x=a$.

📐 Formule - La division euclidienne de a par b s’écrit $a=bq+r$, où q est le quotient et r le reste ; par exemple, $30=7\times4+2$.

• L’addition est associative et commutative, possède 0 comme élément neutre, et la multiplication est associative et commutative, possède 1 comme élément neutre et 0 comme élément absorbant.

📐 Formule - La multiplication est distributive sur l’addition : $a(b+c)=ab+ac$.

Compléments

📌 Une division décimale cherche soit un quotient décimal exact lorsque celui-ci existe, soit une approximation décimale du quotient.

📐 Formule - La différence est conservée si l’on ajoute le même nombre aux deux termes : $a-b=(a+c)-(b+c)$, lorsque les soustractions sont définies.

📐 Formule - Pour des nombres décimaux, multiplier ou diviser les deux termes d’un quotient par un même nombre non nul conserve le quotient : $\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}$.

📖 4. Relatifs, fractions et puissances

★ À maîtriser

• Dans l’addition de deux nombres relatifs de même signe, le résultat conserve leur signe ; pour des signes opposés, le résultat prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro.

• Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé, par exemple $(-3)-(-7)=(-3)+7=4$.

• Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes opposés est négatif.

📐 Formule - Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, on conserve le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs : $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$.

📐 Formule - La multiplication de fractions vérifie $\frac{a}{c}\times\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}$.

📐 Formule - La division de fractions vérifie $\frac{a}{c}\div\frac{b}{d}=\frac{ad}{bc}$, lorsque les dénominateurs et le diviseur sont non nuls.

📐 Formule - Pour un exposant entier positif n, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a ; de plus, $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ pour n≥1.

📐 Formule - Les puissances vérifient $a^n a^p=a^{n+p}$, $(a^n)^p=a^{np}$ et $(ab)^n=a^n b^n$.

Compléments

📌 Diviser a par un nombre b non nul revient à multiplier a par l’inverse de b.

📐 Formule - La racine carrée vérifie $(\sqrt a)^2=a$, $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$ et $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ dans les conditions où ces expressions sont définies.

📌 En général, la puissance ne se distribue pas sur une somme ou une différence : $(a+b)^n\ne a^n+b^n$ pour n entier, et $(a-b)^n\ne a^n-b^n$ pour n≥2.

📌 Pour a et b positifs, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ ; de même, $\sqrt{a^2+b^2}\ne a+b$ en général.

💡 Astuce mémo

Pour les signes, mêmes signes donnent + et signes différents donnent −.

📖 5. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un nombre naturel est un multiple de 6 s’il est divisible par 6, comme 12, 48, 54 et 312.
• Nombre premier : Un entier naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même ; 0 et 1 ne sont pas premiers.
• Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont premiers entre eux lorsqu’ils n’ont que 1 comme diviseur commun, donc leurs décompositions en facteurs premiers n’ont aucun facteur commun.

★ À maîtriser

📌 Un nombre naturel n est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 4 si le nombre formé de ses deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 10 si ce chiffre est 0.

📌 Un nombre naturel est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou par 9.

• Pour tester si n est premier, on vérifie sa divisibilité par les nombres premiers successifs jusqu’au plus grand nombre premier inférieur ou égal à √n.

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on le divise successivement par le plus petit nombre premier possible jusqu’à obtenir un quotient égal à 1 ; ainsi, 882=2×3²×7².

📌 Le PPCM de deux nombres est leur plus petit multiple commun, obtenu en prenant chaque facteur premier avec son plus grand exposant ; leur PGCD est leur plus grand diviseur commun, obtenu avec les seuls facteurs communs et leurs plus petits exposants.

Compléments

• Tout naturel est multiple de 1 et de lui-même ; 0 est multiple de tout naturel, et 0 n’a pour multiple que lui-même.

• 1 est diviseur de tout naturel, tout naturel est diviseur de lui-même, tout naturel est diviseur de 0 et 1 n’a que lui-même pour diviseur.

📌 Si a et b sont des multiples de c, leur somme est un multiple de c ; si a≥b et que a et b sont multiples de c, leur différence est aussi un multiple de c.

📐 Formule - Si $n=a^p b^q c^r$ est la décomposition en facteurs premiers, le nombre de diviseurs positifs de n est $(p+1)(q+1)(r+1)$ ; ainsi, 60=2²×3×5 possède 12 diviseurs.

📌 Le théorème de Gauss affirme que si un nombre divise un produit de deux facteurs et est premier avec l’un d’eux, alors il divise l’autre facteur.

📖 6. Fonctions linéaires et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique : Une fonction numérique associe à chaque élément x d’un ensemble de départ E un élément f(x) d’un ensemble d’arrivée F ; f(x) est l’image de x et x est un antécédent de f(x).
• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est définie par $f(x)=ax$, où a est une constante réelle ; sa représentation est la droite d’équation $y=ax$ qui passe par l’origine.
• Fonction affine : Une fonction affine est définie par $f(x)=ax+b$, où a et b sont des constantes réelles ; sa représentation est la droite d’équation $y=ax+b$.
• Suites proportionnelles : Deux suites de même longueur sont proportionnelles lorsqu’un même opérateur multiplicatif transforme chaque terme de la première en son terme correspondant dans la seconde ; cet opérateur est le coefficient de proportionnalité.

★ À maîtriser

• Dans une fonction affine, b est l’ordonnée à l’origine et correspond à l’image de 0, soit f(0)=b.

📐 Formule - Pour une fonction linéaire, l’image d’une somme ou d’une différence est la somme ou la différence des images : $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ et $f(x_1-x_2)=f(x_1)-f(x_2)$.

📐 Formule - Dans deux suites proportionnelles, les rapports des termes correspondants sont égaux et les produits en croix sont égaux : $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$ et $x_1y_2=x_2y_1$.

Compléments

• Dans une fonction linéaire, a est le coefficient directeur et f(1)=a ; la fonction est croissante si a>0 et décroissante si a<0.

• Pour déterminer l’équation de la droite passant par deux points distincts A(xa,ya) et B(xb,yb), on calcule $a=\frac{yb-ya}{xb-xa}$, puis on remplace a dans f(x)=ax+b et on utilise les coordonnées d’un point pour trouver b.

• Une proportionnalité de coefficient a est représentée par la fonction linéaire $f(x)=ax$.

📌 Un coefficient de proportionnalité positif conserve l’ordre des termes, tandis qu’un coefficient négatif l’inverse.

• Dans deux suites proportionnelles, des écarts égaux entre les termes de la première suite correspondent à des écarts égaux entre les termes correspondants de la seconde.

• Dans un repère régulièrement gradué à partir de 0, les points représentant les couples de deux suites proportionnelles sont alignés sur une droite passant par l’origine.

📌 Un problème de quatrième proportionnelle demande le quatrième terme de deux suites proportionnelles lorsque trois termes sont connus ; un problème de proportionnalité inverse concerne des grandeurs dont le produit des valeurs correspondantes est constant.

💡 Astuce mémo

La linéaire passe par l’origine ; l’affine coupe l’axe vertical en b.

📖 7. Vitesse, pourcentages et échelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse moyenne : La vitesse moyenne v sur une distance d parcourue pendant une durée t est le coefficient de proportionnalité entre la distance et la durée, soit $v=\frac dt$.
• Pourcentage : Un pourcentage exprime un nombre comme une fraction de cent, par exemple $25\%=\frac{25}{100}=0{,}25$.
• Échelle : L’échelle est le coefficient de proportionnalité utilisé pour représenter physiquement une grandeur, par exemple un terrain ou une voiture.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La distance, la vitesse et la durée vérifient $d=vt$, $v=\frac dt$ et $t=\frac dv$.

📐 Formule - Prendre a % d’une quantité x revient à calculer $x\times\frac{a}{100}$ ; le pourcentage de a par rapport à b est le rapport $\frac ab$ exprimé sur 100.

📐 Formule - Augmenter une valeur de a % revient à la multiplier par $1+\frac{a}{100}$, tandis que la diminuer de a % revient à la multiplier par $1-\frac{a}{100}$.

📖 8. Représentations de données

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Une représentation graphique est un dessin codifié dont les coordonnées, courbes ou surfaces respectent les proportions des grandeurs observées.
• Histogramme : Un histogramme est un diagramme où l’effectif est proportionnel à l’aire du rectangle qui le représente, notamment pour une variable continue découpée en classes inégales.

★ À maîtriser

• Un graphique de qualité doit être : lisible, fidèle aux données, autosuffisant, avec un titre, des axes libellés et l’indication des échelles choisies

• Les diagrammes circulaires, semi-circulaires et rectangulaires représentent une partition au moyen de surfaces dont les aires sont proportionnelles aux effectifs des sous-parties.

Compléments

• Les données numériques peuvent être présentées :
  • dans un texte
  • dans un tableau
  • sous forme de graphique

📌 Un tableau à simple entrée organise les données selon une seule dimension, tandis qu’un tableau à double entrée croise deux dimensions.

📌 Une représentation de partition présente des données disjointes, tandis qu’une représentation de fonction traduit l’évolution d’une grandeur par rapport à une autre.

• Un diagramme en bâtons peut représenter une partition ou une fonction, et la longueur de ses bâtons est proportionnelle à une grandeur représentée.

📖 9. Graphiques et vocabulaire statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : La somme des données divisée par leur nombre ; elle se situe entre la valeur minimale et la valeur maximale.
• Médiane : Une valeur qui, après classement croissant de la série, partage les données en deux groupes de même effectif.
• Population : Le groupe étudié en statistique, dont les membres sont les individus.
• Étendue : La différence entre sa plus grande et sa plus petite donnée.

★ À maîtriser

• Dans un histogramme, la fréquence est mesurée par la surface de la colonne, tandis que dans un diagramme à bandes verticales, elle est mesurée par la hauteur de la barre.

• Un caractère qualitatif décrit une catégorie ou une nature, tandis qu’un caractère quantitatif est numérique et peut être discret, à valeurs entières, ou continu, à valeurs décimales.

• L’effectif est le nombre d’individus, tandis que la fréquence est le quotient associé à une catégorie, souvent exprimé en pourcentage.

Compléments

• Une origine ou une échelle différente peut modifier la représentation et conduire à sous-interpréter ou à surinterpréter un résultat.

• Pour un effectif impair N, la médiane est la donnée de rang $\frac{N-1}{2}+1$ ; pour un effectif pair, elle est la moyenne des deux valeurs centrales.

💡 Astuce mémo

Surface pour l’histogramme, hauteur pour les bandes

📖 10. Probabilités et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience dont les résultats possibles peuvent être nommés, mais dont on ne sait pas lequel se produira avant de la réaliser.
• Événement : Un ensemble de résultats possibles d’une expérience aléatoire.
• Probabilité : Le quotient qui mesure la chance qu’un événement se produise.

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque tous les résultats sont équiprobables, la probabilité d’un événement vaut $\frac{\text{nombre de résultats favorables}}{\text{nombre de résultats possibles}}$.

• Si un événement a pour probabilité p, son événement contraire a pour probabilité $1-p$.

Compléments

• Quand une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence d’un événement se stabilise autour de sa probabilité, ce qui permet d’en obtenir une valeur approchée.

• La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1, et la somme des probabilités de tous les résultats possibles vaut 1.

📌 Deux événements sont indépendants si l’un n’influence pas les résultats de l’autre, et alors $P(A\text{ et }B)=P(A)\times P(B)$.

📌 Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire simultanément, donc $P(A\text{ et }B)=0$ et $P(A\text{ ou }B)=P(A)+P(B)$.

📖 11. Calcul littéral et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une égalité conditionnelle contenant une ou plusieurs inconnues, qui n’est pas nécessairement vraie pour toutes leurs valeurs.
• Inéquation : Une inégalité conditionnelle contenant une ou plusieurs inconnues ; la résoudre consiste à déterminer les valeurs qui la rendent vraie.
• Expression littérale : Une expression contenant des lettres représentant des valeurs numériques ; elle est une somme, un produit ou un quotient selon sa dernière opération.
• Factoriser : Écrire une expression littérale sous la forme d’un produit.
• Solution d’une équation : Une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vérifiée.

📝 Points essentiels

📌 Réduire une expression littérale consiste à l’écrire avec le moins de termes possible, tandis que développer consiste à l’écrire comme une somme d’expressions simples.

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

📖 12. Formules et tableur

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableur : Un logiciel qui automatise des calculs, même complexes, et permet de construire des graphiques.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour saisir une formule dans un tableur :
  1. Commencer par « = ».
  2. Saisir les opérations à effectuer avec des nombres ou des références de cellules.
  3. Valider avec Entrée.

Compléments

• Dans une référence de cellule, le symbole $ placé devant la lettre de colonne fige cette colonne lors du collage de la formule, et placé devant le numéro de ligne fige cette ligne.

• Pour créer un graphique dans un tableur, il faut saisir et sélectionner les données, puis choisir « diagramme » dans le menu « insertion ».

📖 13. Géométrie plane et angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiatrice : La droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu ; elle est l’ensemble des points équidistants des extrémités.
• Angle complémentaire : Deux angles dont la somme des mesures vaut 90°.
• Angle supplémentaire : Deux angles dont la somme des mesures vaut 180°.

★ À maîtriser

📌 Le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à la distance r de O, tandis que le disque comprend les points M tels que $OM\leq r$.

• Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes et les angles correspondants sont égaux.

• Un angle inscrit qui intercepte le même arc qu’un angle au centre mesure la moitié de cet angle au centre, et deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.

Compléments

📌 Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de l’autre ; ils sont égaux.

• Un triangle dont un côté est le diamètre d’un cercle et dont le troisième sommet appartient au cercle est rectangle en ce troisième sommet.

📖 14. Démonstrations et propriétés géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Démonstration : Une preuve mathématique fondée sur des données, des définitions, des propriétés ou les conséquences de propriétés.
• Réciproque : L’énoncé obtenu en inversant la condition et la conclusion d’un énoncé « Si A, alors B ».
• Contre-exemple : Un exemple qui vérifie la condition d’un énoncé mais pas sa conclusion, et suffit à prouver que l’énoncé est faux.

📝 Points essentiels

📌 Le chaînage avant part des données pour en tirer des conséquences, tandis que le chaînage arrière part de la conclusion et recherche les propriétés et leurs conditions d’utilisation.

📌 Pour rédiger une démonstration, il faut faire apparaître la condition d’utilisation de la propriété et la conclusion, même si la propriété n’est pas explicitement citée.

• Deux phrases mathématiques sont équivalentes lorsque l’implication de l’une vers l’autre et sa réciproque sont toutes deux vraies.

• Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.

• Si les carrés des longueurs des deux côtés les plus courts d’un triangle ont pour somme le carré du plus long, alors le triangle est rectangle.

📖 15. Pythagore, Thalès et trigonométrie

★ À maîtriser

📐 Formule - Si deux droites sécantes en A sont coupées par deux parallèles, les longueurs correspondantes vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

• Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle est le quotient du côté opposé par l’hypoténuse, le cosinus celui du côté adjacent par l’hypoténuse, et la tangente celui du côté opposé par le côté adjacent.

Compléments

📌 Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, le triangle n’est pas rectangle.

📌 Si des points alignés sur deux droites sécantes sont dans le même ordre et vérifient $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$, alors les droites (BE) et (CD) sont parallèles.

📐 Formule - Pour un angle d’un triangle rectangle, $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ et $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$.

• 🔄 Pour calculer une longueur avec la trigonométrie :
  1. Choisir une relation contenant l’inconnue.
  2. Remplacer les valeurs connues.
  3. Calculer l’inconnue.

📖 16. Transformations et triangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles isométriques : Des triangles dont l’un est l’image de l’autre par une isométrie, c’est-à-dire qui sont superposables.
• Triangles semblables : Des triangles tels que l’un est l’agrandissement ou la réduction de l’autre ; le coefficient utilisé est le rapport de similitude.
• Symétrie axiale : La symétrie axiale d’un point M par rapport à une droite (d) donne un point M’ tel que (d) est la médiatrice de [MM’], lorsque M n’appartient pas à (d).
• Translation : Une transformation qui déplace une figure sans la faire tourner et conserve l’alignement, les longueurs, les milieux, les angles et le parallélisme.

★ À maîtriser

📌 Un agrandissement ou une réduction multiplie toutes les longueurs par un même coefficient et conserve les angles ; un coefficient supérieur à 1 agrandit la figure, tandis qu’un coefficient inférieur à 1 la réduit.

Compléments

• La symétrie centrale conserve l’alignement, les longueurs, les angles, l’orthogonalité, les milieux et le parallélisme.

• Deux triangles sont isométriques si leurs trois côtés correspondants sont égaux, si un angle et les deux côtés qui le forment sont égaux, ou si deux angles et leur côté commun sont égaux.

• Deux triangles semblables ont leurs côtés correspondants proportionnels ou deux angles correspondants égaux ; un angle égal et les côtés qui le forment proportionnels suffisent également à établir leur similitude.

💡 Astuce mémo

Isométriques : superposables ; semblables : même forme, tailles proportionnelles

📖 17. Géométrie dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Polyèdre : Un solide délimité par des faces qui sont toutes des polygones.

★ À maîtriser

📌 Dans l’espace, deux droites perpendiculaires se coupent à angle droit, tandis que deux droites orthogonales ont des parallèles perpendiculaires et ne sont pas nécessairement sécantes.

Compléments

📐 Formule - Pour un polyèdre, le nombre de sommets plus le nombre de faces moins le nombre d’arêtes vaut 2 : $S+F-A=2$.

• En perspective cavalière, le solide est projeté obliquement sur un plan parallèle à une face, les arêtes cachées sont en pointillés et les fuyantes suivent une direction généralement à 30° ou 45°.

• Le cube possède 11 patrons permettant de le reconstituer par pliage sans chevauchement de faces.

📌 Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est orthogonale à ce plan.

📐 Formule - Les diagonales d’un carré, d’un rectangle, d’un cube et d’un parallélépipède rectangle valent respectivement $c\sqrt{2}$, $\sqrt{L^2+l^2}$, $c\sqrt{3}$ et $\sqrt{h^2+L^2+l^2}$.

📖 18. Périmètres, aires, volumes et grandeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Périmètre : La longueur du contour d’une surface.
• Aire : Le nombre d’unités nécessaires pour recouvrir exactement et sans chevauchement une surface, après choix d’une unité.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les aires usuelles sont $lL$ pour un rectangle, $c^2$ pour un carré, $ch$ pour un parallélogramme, $\frac{ch}{2}$ pour un triangle, $\frac{(B+b)h}{2}$ pour un trapèze, $\frac{dd'}{2}$ pour un losange, $\pi r^2$ pour un cercle et $4\pi r^2$ pour une sphère.

• Lorsque toutes les dimensions d’un solide sont multipliées par k, son volume est multiplié par $k^3$.

Compléments

📐 Formule - Le périmètre d’un rectangle vaut $2l+2L$, celui d’un carré ou d’un losange vaut $4c$, et celui d’un cercle vaut $2\pi r=\pi D$.

• Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite avec un coefficient k, son périmètre est multiplié par k et son aire par $k^2$.

• Le volume caractérise les solides et peut être exprimé en unités cubiques ou en litres.

• Une minute vaut 60 secondes et une heure vaut 60 minutes, soit 3 600 secondes.