Fiche de révision : Nombres réels et vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Nombres irrationnels et réels
2. Inclusion des ensembles de nombres
3. Encadrement des nombres réels
4. Intervalles de nombres réels
5. Inéquations et intervalles
6. Intersection et réunion
7. Valeur absolue et distance
8. Translation et vecteurs

📖 1. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Un nombre qui ne peut pas s’écrire à l’aide d’une fraction.
• Nombre réel : Un nombre rationnel ou irrationnel, et l’ensemble des nombres réels est noté ℝ.

📝 Points essentiels

• √2, √3 et π sont des nombres irrationnels.

• Les décimales d’un nombre irrationnel sont en nombre infini et ne deviennent jamais périodiques, de sorte qu’il ne peut pas s’écrire sous forme décimale finie.

• Un nombre réel est l’abscisse d’un point d’une droite graduée appelée droite numérique.

💡 Astuce mémo

Rationnel : fraction possible ; irrationnel : fraction impossible.

📖 2. Inclusion des ensembles de nombres

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

📌 Si un nombre appartient à ℕ, alors il appartient aussi à ℤ, ce qui se note ℕ ⊂ ℤ.

• Comme 5 appartient à ℕ, 5 appartient aussi à ℤ.

📖 3. Encadrement des nombres réels

★ À maîtriser

• Pour encadrer un réel à 10⁻³ près, on détermine deux bornes au millième entre lesquelles il se trouve.

Compléments

• Un encadrement à 10⁻³ près de √2 est 1,414 < √2 < 1,415.

📖 4. Intervalles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle est un ensemble de nombres réels définis par une ou plusieurs inégalités, par exemple l’ensemble des x tels que 2 ≤ x ≤ 4 se note [2 ; 4].

★ À maîtriser

📌 Dans un intervalle fermé comme [−2 ; 5], les deux bornes appartiennent à l’intervalle, tandis que dans un intervalle ouvert comme ]2 ; 6[, aucune des deux bornes n’y appartient.

Compléments

• L’intervalle des nombres réels se note ]−∞ ; +∞[.

• La condition x ≥ 2 se note [2 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Crochets fermés : borne incluse ; crochets ouverts : borne exclue.

📖 5. Inéquations et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Une inégalité qui contient une inconnue x.

★ À maîtriser

• Résoudre une inéquation consiste à trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’inégalité, puis à exprimer l’ensemble des solutions à l’aide d’intervalles.

Compléments

• Les techniques de résolution des inéquations sont semblables à celles utilisées pour les équations.

📖 6. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B, et se note A ∩ B.
• Réunion : La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, et se note A ∪ B.

📝 Points essentiels

• Pour A = {1, 2} et B = {1, 3, 4}, on a A ∩ B = {1} et A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.

💡 Astuce mémo

Intersection : dans A et B ; réunion : dans A ou B.

📖 7. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un nombre est ce nombre sans son signe, par exemple |−5| = 5 et |5| = 5.

★ À maîtriser

• La distance entre deux points d’abscisses a et b sur une droite graduée est $|a-b|$.

Compléments

• La distance entre 1,5 et 4 vaut 2,5, car |1,5 − 4| = |−2,5| = 2,5.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, |a − b| est la longueur du segment entre a et b.

📖 8. Translation et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : La translation qui envoie P sur P′ fait glisser une figure selon la droite (PP′), dans le sens de P vers P′ et d’une longueur égale à PP′.
• Vecteur : Un vecteur défini par un couple de points comme (A ; A′) est caractérisé par la direction de la droite (AA′), le sens de A vers A′ et la longueur AA′.

💡 Astuce mémo

DSL : direction, sens, longueur.