Notions fondamentales en théorie des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Définitions et sous-ensembles
2. Écritures et notations d’ensembles
3. Ensemble des parties et égalité
4. Intersection, réunion et différence
5. Complémentaire et lois de Morgan
6. Produit cartésien et familles d’ensembles

📖 1. Définitions et sous-ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Un ensemble est une collection d’objets réunis par un critère commun.
• Élément x de E : Dire que x est un élément de E signifie que x appartient à l’ensemble, noté $x \in E$.
• Ensemble vide : L’ensemble vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément, noté $\varnothing$ ou $\{\}$.
• Sous-ensemble A inclus dans E : Un sous-ensemble (ou une partie) A de E est un ensemble dont chaque élément appartient aussi à E, noté $A\subset E$.
• Inclusion stricte : Une inclusion est dite stricte quand $A$ est inclus dans E sans être égal à E, ce qui s’écrit $A\subsetneq E$.

📝 Points essentiels

• $x\in E$ signifie que l’objet x appartient à E, tandis que $x\notin E$ signifie qu’il n’y appartient pas.
• $\varnothing$ est l’ensemble sans éléments, et c’est l’ensemble vide correspondant aux objets inexistants.
• Si tous les éléments de A appartiennent à E alors $A\subset E$, et on note $A\nsubseteq E$ quand ce n’est pas le cas.
• L’inclusion est stricte quand $A\subset E$ et $A\neq E$, ce qui revient à $E\nsubseteq A$ et s’écrit aussi $A\subsetneq E$.
• On a toujours $\varnothing\subset E$ et $E\subset E$.