Périodes des fonctions trigonométriques

📋 Plan du Cours

1. Période d’une somme trigonométrique
2. Produits et formules de Simpson

📖 1. Période d’une somme trigonométrique

★ À maîtriser

• Pour déterminer la période d’une somme de fonctions trigonométriques, on calcule la période de chaque terme puis on prend leur PPCM.

Compléments

• La période de $\cos 3x+\sin x$ est le PPCM de $\frac{2\pi}{3}$, $2\pi$ et $\frac{\pi}{2}$, soit $2\pi$.

• Pour $\sin\frac{2x}{5}+\cos\frac{3x}{2}-\frac13\cotg\frac{x}{3}$, les périodes des termes sont $5\pi$, $\frac{4\pi}{3}$ et $3\pi$, et leur PPCM vaut $60\pi$.

📐 Formule - La période de $\sin(ax)$ ou de $\cos(ax)$, pour un coefficient non nul $a$, est $\frac{2\pi}{|a|}$.

📖 2. Produits et formules de Simpson

★ À maîtriser

• Les formules de Simpson transforment un produit de fonctions trigonométriques en somme ou différence de fonctions trigonométriques.

Compléments

• En appliquant une formule de Simpson, $2\sin 7x\sin 3x=\cos 4x-\cos 10x$, dont la période est $\pi$.

• La transformation de $\sin x\cos 2x$ donne $\frac12\sin 3x-\frac12\sin x$, dont la période est $2\pi$.

📐 Formule - $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$.

💡 Astuce mémo

Produit trigonométrique → somme ou différence → périodes des termes → PPCM