Fiche de révision : Polynôme de degré 2

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme de degré 2
2. Forme canonique et sommet
3. Racines et factorisation
4. Signe du trinôme
5. Résolution d’une inéquation

📖 1. Fonction polynôme de degré 2

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole possédant un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.

• La fonction $h(t)=(t-2)^2-4$ est un polynôme de degré 2 car elle se développe en $h(t)=t^2-4t$, avec $a=1$, $b=-4$ et $c=0$.

💡 Astuce mémo

Une parabole comme trajectoire de feu d’artifice ou de projectile

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Point $S(\alpha;\beta)$ situé sur son axe de symétrie, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Tout polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ de degré 2 s’écrit sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

📌 Si $a>0$, la fonction atteint un minimum égal à β en α et la parabole est orientée vers le haut ; si $a<0$, elle atteint un maximum égal à β en α et la parabole est orientée vers le bas.

Compléments

• Pour $P(x)=-2x^2+5x-1$, la forme canonique est $P(x)=-2\left(x-\frac54\right)^2+\frac{17}{8}$.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum ; a<0 : maximum

📖 3. Racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l’équation n’a aucune racine réelle ; si $\Delta=0$, elle possède une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle possède deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

📐 Formule - Lorsque $\Delta=0$, on a $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; lorsque $\Delta>0$, on a $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• Pour $P(x)=-2x^2+5x-1$, on obtient $\Delta=9$, les racines $\frac12$ et 2, puis $P(x)=-2\left(x-\frac12\right)(x-2)$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, compter les racines, puis factoriser

📖 4. Signe du trinôme

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme est partout du signe de a ; si $\Delta=0$, il est du signe de a et s’annule en $-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta>0$ et $x_1<x_2$, le trinôme est du signe de a sur $]-\infty;x_1[\cup]x_2;+\infty[$ et du signe opposé à a sur $]x_1;x_2[$.

Compléments

📌 Dire qu’un trinôme est du signe de a signifie qu’il est positif si $a>0$ et négatif si $a<0$, sauf dans les intervalles où le signe est opposé.

• Pour $P(x)=-2x^2+5x-1$, le trinôme est négatif sur $]-\infty;\frac12[$, positif sur $]\frac12;2[$, puis négatif sur $]2;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Même signe que a, sauf entre les racines

📖 5. Résolution d’une inéquation

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on calcule le discriminant, on détermine les racines éventuelles, on établit le tableau de signe du trinôme, puis on sélectionne les intervalles correspondant à l’inégalité.

• Pour résoudre $-x^2-3x+6<0$, on calcule $\Delta=33$ et l’ensemble solution est $]-\infty;\frac{-3-\sqrt{33}}{2}[\cup]\frac{-3+\sqrt{33}}{2};+\infty[$.

Compléments

• Lorsque le terme en x ou le terme constant est absent, certaines équations se résolvent directement par factorisation ou extraction de racine carrée.

💡 Astuce mémo

Discriminant → racines → tableau de signe → intervalle

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant