QCM : Polynôme de degré 2 (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’une fonction polynôme de degré 2 :

Elle impose que les coefficients a,b,ca,b,c soient des entiers relatifs.
Elle est définie par une expression de degré trois comportant trois coefficients réels.
Elle comporte un terme en x2x^2 dont le coefficient est réel et non nul.
Elle s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R} et a≠0a\ne0.
Elle s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a=0a=0 et b,c∈Rb,c\in\mathbb{R}.

Elle comporte un terme en $$x^2$$ dont le coefficient est réel et non nul. · Elle s’écrit $$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a,b,c\in\mathbb{R}$$ et $$a\ne0$$.

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit ax2+bx+cax^2+bx+c avec des coefficients réels et a≠0a\ne0. Le coefficient de x2x^2 ne peut donc pas être nul, les coefficients ne sont pas nécessairement entiers et le degré trois ne convient pas.

2. Parmi les propositions suivantes concernant la courbe d’une fonction polynôme de degré 2, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Son axe de symétrie est parallèle à l’axe des abscisses.
Son axe de symétrie est parallèle à l’axe des ordonnées.
Sa courbe représentative est une droite dont la pente dépend du coefficient aa.
Sa courbe représentative est une parabole dans un repère orthogonal.
Sa courbe représentative est un cercle possédant un centre de symétrie.

Son axe de symétrie est parallèle à l’axe des ordonnées. · Sa courbe représentative est une parabole dans un repère orthogonal.

Explication

La courbe d’un polynôme de degré 2 est une parabole. Dans un repère orthogonal, son axe de symétrie est parallèle à l’axe des ordonnées, et non à celui des abscisses ; ce n’est ni une droite ni un cercle.

3. À propos de la forme canonique d’un polynôme du second degré :

L’abscisse canonique s’exprime par α=−b4a\alpha=-\frac{b}{4a}.
On a α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c.
La forme canonique s’écrit f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.
La valeur β\beta est donnée par b2−4ac4a\frac{b^2-4ac}{4a}.
La valeur au sommet vérifie β=f(α)=−b2−4ac4a\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}.

On a $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ pour $$f(x)=ax^2+bx+c$$. · La forme canonique s’écrit $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$. · La valeur au sommet vérifie $$\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$.

Explication

La forme canonique est f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)=−b2−4ac4a\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}. Les expressions −b4a-\frac{b}{4a} et b2−4ac4a\frac{b^2-4ac}{4a} ne donnent pas les paramètres corrects.

4. Une fonction polynôme de degré 2 possède un coefficient dominant positif. Quelles sont les réponses exactes au sujet de sa parabole ?

La parabole est orientée vers le haut.
La fonction atteint un maximum égal à l’ordonnée du sommet.
L’extremum est atteint en une abscisse égale à −ba-\frac{b}{a}.
La fonction atteint un minimum égal à β\beta en α\alpha.
La parabole est orientée vers le bas lorsque a>0a>0.

La parabole est orientée vers le haut. · La fonction atteint un minimum égal à $$\beta$$ en $$\alpha$$.

Explication

Lorsque a>0a>0, la parabole est orientée vers le haut et la fonction atteint un minimum égal à β\beta en α\alpha. Elle n’a donc pas de maximum correspondant au sommet, son orientation n’est pas descendante et α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.

5. Concernant le discriminant d’un trinôme du second degré :

Le discriminant donne directement les coordonnées du sommet.
Dans f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, le terme associé à cc est −4ac-4ac.
Le discriminant correspond à b2−2acb^2-2ac pour tout trinôme.
Le discriminant s’écrit Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac.
Le discriminant est défini par Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.

Dans $$f(x)=ax^2+bx+c$$, le terme associé à $$c$$ est $$-4ac$$. · Le discriminant est défini par $$\Delta=b^2-4ac$$.

Explication

Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, le discriminant vaut Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. Il sert notamment à déterminer le nombre de racines réelles, tandis que les coordonnées du sommet relèvent de la forme canonique.

6. Parmi les propositions suivantes relatives au discriminant, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Lorsque Δ>0\Delta>0, l’équation possède une seule racine réelle simple.
Lorsque Δ=0\Delta=0, l’équation possède deux racines réelles distinctes.
Lorsque Δ>0\Delta>0, l’équation possède deux racines réelles confondues.
Lorsque Δ<0\Delta<0, l’équation possède une racine réelle double.
Lorsque Δ=0\Delta=0, l’équation possède une racine double x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}.

Lorsque $$\Delta=0$$, l’équation possède une racine double $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, l’équation possède une racine double x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}. Lorsque Δ>0\Delta>0, elle possède deux racines réelles distinctes, et lorsque Δ<0\Delta<0, elle ne possède pas de racine réelle. Ainsi, une racine simple unique ne correspond pas au cas Δ>0\Delta>0, pas plus que deux racines distinctes au cas Δ<0\Delta<0.

7. Les formes factorisées associées au discriminant comprennent :

Pour Δ<0\Delta<0, on a f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) avec deux racines réelles.
Pour Δ>0\Delta>0, on a f(x)=a(x−x0)2f(x)=a(x-x_0)^2.
Pour Δ=0\Delta=0, on a f(x)=a(x−x0)2f(x)=a(x-x_0)^2.
Pour Δ=0\Delta=0, on a f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) avec deux racines distinctes.
Pour Δ>0\Delta>0, on a f(x)=a(x+x1)(x+x2)f(x)=a(x+x_1)(x+x_2).

Pour $$\Delta=0$$, on a $$f(x)=a(x-x_0)^2$$.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, la racine double permet d’écrire f(x)=a(x−x0)2f(x)=a(x-x_0)^2. La factorisation avec deux facteurs distincts correspond à Δ>0\Delta>0, tandis que Δ<0\Delta<0 ne fournit pas deux racines réelles.

8. Concernant le signe d’un trinôme selon son discriminant, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Si Δ=0\Delta=0, le trinôme est du signe opposé à aa de part et d’autre de sa racine.
Si Δ<0\Delta<0, le trinôme garde partout le signe du coefficient aa.
Si Δ=0\Delta=0, le trinôme s’annule en −b2a-\frac{b}{2a}.
Si Δ>0\Delta>0, le trinôme est du signe opposé à aa à l’extérieur de ses deux racines réelles.
Si Δ<0\Delta<0, le trinôme change de signe en deux racines réelles distinctes.

Si $$\Delta<0$$, le trinôme garde partout le signe du coefficient $$a$$. · Si $$\Delta=0$$, le trinôme s’annule en $$-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Lorsque Δ<0\Delta<0, le trinôme est partout du signe de aa. Lorsque Δ=0\Delta=0, il est du signe de aa et s’annule en −b2a-\frac{b}{2a}. Lorsque Δ>0\Delta>0, il présente deux racines réelles distinctes et prend le signe opposé à celui de aa entre ces racines, tandis qu’il garde le signe de aa à l’extérieur. Il ne change donc pas de signe en cas de discriminant négatif, et le signe opposé à aa n’apparaît pas à l’extérieur des racines.

9. Les étapes de résolution d’une inéquation du second degré comprennent :

La résolution consiste à rechercher les seuls zéros du trinôme.
Le calcul du discriminant fait partie de la méthode de résolution.
La sélection finale porte sur les intervalles compatibles avec l’inégalité.
Le choix des intervalles suffit sans étudier le signe du trinôme.
La détermination des racines éventuelles précède l’établissement du tableau de signe.

Le calcul du discriminant fait partie de la méthode de résolution. · La sélection finale porte sur les intervalles compatibles avec l’inégalité. · La détermination des racines éventuelles précède l’établissement du tableau de signe.

Explication

La méthode consiste à calculer le discriminant, déterminer les racines éventuelles, construire le tableau de signe, puis retenir les intervalles adaptés à l’inégalité. Choisir les intervalles sans tableau de signe est insuffisant, et rechercher les seuls zéros correspond à une équation plutôt qu’à une inéquation.

10. Pour l’inéquation −x2−3x+6<0-x^2-3x+6<0, quelles sont les réponses exactes ?

L’inéquation est vérifiée entre les deux racines, bornes incluses.
Les racines sont −3−332\frac{-3-\sqrt{33}}{2} et −3+332\frac{-3+\sqrt{33}}{2}.
Le discriminant du trinôme vaut 3333.
L’ensemble solution est ]−∞;−3−332[∪]−3+332;+∞[]-\infty;\frac{-3-\sqrt{33}}{2}[\cup]\frac{-3+\sqrt{33}}{2};+\infty[.
L’ensemble solution est l’intervalle compris entre les deux racines.

Les racines sont $$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$$ et $$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$$. · Le discriminant du trinôme vaut $$33$$. · L’ensemble solution est $$]-\infty;\frac{-3-\sqrt{33}}{2}[\cup]\frac{-3+\sqrt{33}}{2};+\infty[$$.

Explication

Le discriminant vaut 3333 et les racines sont −3−332\frac{-3-\sqrt{33}}{2} et −3+332\frac{-3+\sqrt{33}}{2}. Comme le coefficient directeur est négatif, le trinôme est négatif à l’extérieur des racines, ce qui donne l’union d’intervalles indiquée. Entre les racines, le trinôme est positif, et l’inégalité stricte exclut les racines.

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Comment s'exprime une fonction polynôme de degré 2 sur ℝ ?

Par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a,b,c ∈ Ra,b,c \, \in \, \mathbb{R} et a≠0a \neq 0.

Comment s'écrit la forme canonique d'un polynôme du second degré ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Quelle est la formule de α\alpha dans la forme canonique ?

α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}

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