Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et arbres

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles en tableau
2. Partition et probabilités totales
3. Règles de l’arbre pondéré
4. Tirages successifs avec remise variable

📖 1. Probabilités conditionnelles en tableau

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans l’exemple, la probabilité de non-B sachant A se calcule par complément : $P_A(\bar B)=1-P_A(B)=\frac{39}{87}$.

• Dans l’exemple du centre de vacances, 87 résidents sur 125 ont choisi l’option A, 70 sur 125 l’option B et 48 sur 125 les deux options.

📐 Formule - Dans l’exemple, la probabilité de B sachant A vaut $P_A(B)=\frac{48}{87}$ et celle de B sachant non-A vaut $P_{\bar A}(B)=\frac{39}{38}$.

📖 2. Partition et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Famille d’événements de probabilités strictement positives, deux à deux incompatibles, dont la réunion est Ω.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $A_1,\ldots,A_k$ forment une partition de Ω, alors $P(B)=\sum_{i=1}^{k}P(A_i\cap B)=\sum_{i=1}^{k}P(A_i)P_{A_i}(B)$.

📐 Formule - Si $0<P(A)<1$, alors pour tout événement B, $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\bar A)P_{\bar A}(B)$.

Compléments

• Si $0<P(A)<1$, les événements A et son complément forment une partition de Ω, car ils sont incompatibles, leur réunion est Ω et leurs probabilités sont positives.

📖 3. Règles de l’arbre pondéré

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilités : Représentation d’une expérience aléatoire à l’aide de branches portant des probabilités, qui facilite le calcul de nouvelles probabilités.
• Chemin : Succession de branches allant du nœud initial à une extrémité de l’arbre.
• Branche : Segment de l’arbre de probabilités.
• Nœud : Jonction de plusieurs branches de l’arbre.

📝 Points essentiels

• La probabilité de réalisation d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.

📌 La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud vaut 1.

📌 La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent ; la même règle s’applique à son complément.

💡 Astuce mémo

Sur un chemin, on multiplie ; entre les branches d’un nœud, on somme à 1 ; pour un événement, on additionne ses chemins.

📖 4. Tirages successifs avec remise variable

★ À maîtriser

• On tire une boule au hasard puis une seconde : une première boule rouge est remise dans l’urne, tandis qu’une première boule noire ne l’est pas.

Compléments

📐 Formule - Au premier tirage, $P(R_1)=\frac{2}{3}$ et $P(N_1)=\frac{1}{3}$.

📐 Formule - Après un premier tirage rouge, la boule est remise et les probabilités du second tirage sont $P_{R_1}(R_2)=\frac{2}{3}$ et $P_{R_1}(N_2)=\frac{1}{3}$.

📐 Formule - Après un premier tirage noir, la boule n’est pas remise et les probabilités du second tirage sont $P_{N_1}(R_2)=\frac{4}{5}$ et $P_{N_1}(N_2)=\frac{1}{5}$.

• L’urne de l’exemple contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.

💡 Astuce mémo

Rouge : remise, composition inchangée ; noire : pas de remise, composition modifiée.