QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (7 questions)

Question 1

1. Parmi 92 résidents ayant choisi l’option A, 57 ont aussi choisi l’option B. Quelle est la probabilité qu’un résident ait choisi non-B sachant qu’il a choisi A ?

\frac{35}{125}

\frac{35}{92}

\frac{33}{92}

\frac{57}{92}

Explication

Parmi les 92 résidents ayant choisi A, $92-57=35$ n’ont pas choisi B ; la probabilité recherchée est donc $\frac{35}{92}$ . $\frac{57}{92}$ correspond à B sachant A, tandis que $\frac{35}{125}$ rapporte l’effectif au groupe entier.

Answer

$$\frac{35}{92}$$

Question 2

2. Une expérience est répartie entre trois événements dont les probabilités sont positives. Quelle condition supplémentaire permet à ces événements de former une partition de l’univers ?

Ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est une partie de l’univers.

Ils sont indépendants et leur réunion est l’univers.

Ils sont incompatibles deux à deux seulement pour une paire et leur réunion est l’univers.

Ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l’univers.

Explication

Une partition est constituée d’événements de probabilité positive, deux à deux incompatibles, dont la réunion couvre tout l’univers. L’indépendance n’est pas une condition de partition, et une réunion qui n’est qu’une partie de l’univers ne suffit pas.

Answer

Ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l’univers.

Question 3

3. Dans une expérience, $P(A)=0{,}4$ , $P_A(B)=0{,}7$ et $P_{\bar A}(B)=0{,}2$ . Quelle est la valeur de $P(B)$ ?

0{,}4\times0{,}7+0{,}6\times0{,}2=0{,}40

0{,}4\times0{,}7+0{,}6\times0{,}7=0{,}70

0{,}7+0{,}2=0{,}90

0{,}6\times0{,}7+0{,}4\times0{,}2=0{,}50

Explication

La formule des probabilités totales pondère chaque probabilité conditionnelle par la probabilité de sa branche : $P(B)=0{,}4\times0{,}7+0{,}6\times0{,}2=0{,}28+0{,}12=0{,}40$ . La somme non pondérée ignore ces poids, et les autres calculs échangent ou répètent une probabilité conditionnelle.

Answer

$$0{,}4\times0{,}7+0{,}6\times0{,}2=0{,}40$$

Question 4

4. Dans un arbre de probabilités, que désigne un chemin ?

Un segment reliant deux nœuds voisins de l’arbre

Une succession de branches allant du nœud initial à une extrémité de l’arbre

Une jonction où plusieurs branches se rencontrent

Une représentation complète de l’expérience par des probabilités sur les branches

Explication

Un chemin correspond à la succession de branches suivie depuis le nœud initial jusqu’à une extrémité de l’arbre. Un segment isolé est une branche, tandis qu’une jonction entre branches est un nœud.

Answer

Une succession de branches allant du nœud initial à une extrémité de l’arbre

Question 5

5. Dans une urne contenant 4 boules rouges et 2 boules noires, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage ?

\frac{4}{5}

\frac{2}{3}

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

Explication

Les 4 boules rouges représentent quatre des six boules de l’urne, donc la probabilité vaut $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ . La valeur $\frac{4}{5}$ correspond à la probabilité de tirer rouge au second tirage après avoir tiré une boule noire au premier.

Answer

$$\frac{2}{3}$$

Question 6

6. Dans un tableau d’effectifs, quel rôle joue l’effectif correspondant à la fois à A et à B pour calculer la probabilité de B sachant A ?

Il permet de calculer la probabilité de A, sans intervenir dans celle de B sachant A.

Il sert de dénominateur, tandis que l’effectif de B sert de numérateur.

Il sert de numérateur, tandis que l’effectif de A sert de dénominateur.

Il permet de calculer la probabilité de non-B sachant A, en divisant par l’effectif total.

Explication

Pour calculer la probabilité conditionnelle de B sachant A, on rapporte l’effectif de A et B réunis à l’effectif total de A. L’effectif de B seul ne constitue pas le dénominateur, car le conditionnement restreint le groupe aux individus ayant choisi A.

Answer

Il sert de numérateur, tandis que l’effectif de A sert de dénominateur.

Question 7

7. Quelle différence distingue le calcul de $P(B)$ par probabilités totales du calcul de $P_A(B)$ ?

Le premier combine les probabilités de A dans les parties d’une partition, tandis que le second mesure A parmi les cas où B est réalisé.

Le premier additionne les probabilités des événements A et B, tandis que le second mesure la probabilité de leur intersection.

Le premier combine les probabilités de B dans les parties d’une partition, tandis que le second mesure B parmi les cas où A est réalisé.

Le premier mesure B parmi les cas où A est réalisé, tandis que le second combine les probabilités de B dans les parties d’une partition.

Explication

La formule des probabilités totales reconstitue la probabilité de B en pondérant sa probabilité conditionnelle dans chaque partie de la partition. À l’inverse, $P_A(B)$ décrit la probabilité de B lorsqu'A est réalisé, et ne combine pas plusieurs parties.

Answer

Le premier combine les probabilités de B dans les parties d’une partition, tandis que le second mesure B parmi les cas où A est réalisé.

QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Parmi 92 résidents ayant choisi l’option A, 57 ont aussi choisi l’option B. Quelle est la probabilité qu’un résident ait choisi non-B sachant qu’il a choisi A ?

2. Une expérience est répartie entre trois événements dont les probabilités sont positives. Quelle condition supplémentaire permet à ces événements de former une partition de l’univers ?

3. Dans une expérience, $P(A)=0{,}4$ , $P_A(B)=0{,}7$ et $P_{\bar A}(B)=0{,}2$ . Quelle est la valeur de $P(B)$ ?

4. Dans un arbre de probabilités, que désigne un chemin ?

5. Dans une urne contenant 4 boules rouges et 2 boules noires, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage ?

6. Dans un tableau d’effectifs, quel rôle joue l’effectif correspondant à la fois à A et à B pour calculer la probabilité de B sachant A ?

7. Quelle différence distingue le calcul de $P(B)$ par probabilités totales du calcul de $P_A(B)$ ?

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QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Parmi 92 résidents ayant choisi l’option A, 57 ont aussi choisi l’option B. Quelle est la probabilité qu’un résident ait choisi non-B sachant qu’il a choisi A ?

2. Une expérience est répartie entre trois événements dont les probabilités sont positives. Quelle condition supplémentaire permet à ces événements de former une partition de l’univers ?

3. Dans une expérience, P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4, PA(B)=0,7P_A(B)=0{,}7PA​(B)=0,7 et PAˉ(B)=0,2P_{\bar A}(B)=0{,}2PAˉ​(B)=0,2. Quelle est la valeur de P(B)P(B)P(B) ?

4. Dans un arbre de probabilités, que désigne un chemin ?

5. Dans une urne contenant 4 boules rouges et 2 boules noires, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage ?

6. Dans un tableau d’effectifs, quel rôle joue l’effectif correspondant à la fois à A et à B pour calculer la probabilité de B sachant A ?

7. Quelle différence distingue le calcul de P(B)P(B)P(B) par probabilités totales du calcul de PA(B)P_A(B)PA​(B) ?

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3. Dans une expérience, $P(A)=0{,}4$ , $P_A(B)=0{,}7$ et $P_{\bar A}(B)=0{,}2$ . Quelle est la valeur de $P(B)$ ?

7. Quelle différence distingue le calcul de $P(B)$ par probabilités totales du calcul de $P_A(B)$ ?