Fiche de révision : Probabilités et variables aléatoires

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et opérations
2. Cardinalité et dénombrement
3. Factorielles et coefficients
4. Arrangements et combinaisons
5. Permutations et répétitions
6. Cycle de modélisation mathématique
7. Univers et événements aléatoires
8. Tribus et probabilités
9. Probabilités conditionnelles
10. Produits et indépendance
11. Choix du modèle des anniversaires
12. Validation du modèle des anniversaires
13. Limites du modèle des anniversaires
14. Variables aléatoires et lois
15. Fonction de répartition
16. Variables aléatoires continues
17. Caractéristiques des variables aléatoires
18. Opérations et indépendance

📖 1. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition en extension : Description d’un ensemble en donnant la liste de ses éléments entre accolades.
• Définition en compréhension : Description d’un sous-ensemble en indiquant la propriété que doivent satisfaire les éléments de l’ensemble de référence.
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément et se note ∅.
• Différence symétrique : Ensemble des éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles A et B.

★ À maîtriser

📌 L’appartenance x ∈ E signifie que x est un élément de E, tandis que l’inclusion E ⊂ F signifie que tout élément de E appartient à F.

Compléments

📌 Pour tout ensemble E, l’ensemble vide est inclus dans E, soit ∅ ⊂ E.

• L’union A ∪ B est disjointe lorsque A ∩ B = ∅, et se note alors A ⊔ B.

💡 Astuce mémo

L’union rassemble les éléments présents dans au moins un ensemble ; l’intersection garde ceux présents dans les deux.

📖 2. Cardinalité et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Nombre de ses éléments.
• Produit cartésien : Ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
• Ensemble des parties : Ensemble qui contient tous les sous-ensembles de E.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux sous-ensembles finis A et B, $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

📐 Formule - Pour des ensembles finis E₁, …, Eₙ, $|E_1 \times \cdots \times E_n| = |E_1| \cdots |E_n|$.

📐 Formule - Si E est de cardinal n, le nombre de ses sous-ensembles est $|P(E)| = 2^n$.

Compléments

📐 Formule - Pour trois sous-ensembles finis A, B et C, $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$.

📖 3. Factorielles et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Pour tout entier naturel n, la factorielle est définie par $n! = 1 \cdot 2 \cdots n$, avec $0! = 1$.
• Coefficient binomial : Pour des entiers naturels n et k, le coefficient binomial vaut $\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ si 0 ≤ k ≤ n, et vaut 0 si k > n.

★ À maîtriser

📐 Formule - La formule du binôme de Newton est $(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout entier naturel n, $(n+1)! = (n+1)n!$.

📐 Formule - Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ et $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

📐 Formule - La relation de Pascal est $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$.

📐 Formule - Pour une somme de r termes, $(x_1+\cdots+x_r)^n=\sum_{n_1+\cdots+n_r=n}\binom{n}{n_1,\ldots,n_r}x_1^{n_1}\cdots x_r^{n_r}$, où $\binom{n}{n_1,\ldots,n_r}=\frac{n!}{n_1!\cdots n_r!}$.

📖 4. Arrangements et combinaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangement sans répétition : K-uplet ordonné dont les éléments sont distincts.
• Combinaison sans répétition : Sous-ensemble de cardinal k.

📝 Points essentiels

📌 Un arrangement est une liste ordonnée, tandis qu’une combinaison est une sélection non ordonnée ; chacune peut être définie avec ou sans répétition autorisée.

📐 Formule - Pour k ≤ n, le nombre d’arrangements sans répétition est $A_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$, et il vaut 0 si k > n.

📐 Formule - Le nombre d’arrangements avec répétition autorisée de k éléments parmi n est $A'_{n,k}=n^k$.

📐 Formule - Le nombre de combinaisons sans répétition de k éléments parmi n est $C_{n,k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ si k ≤ n, et vaut 0 si k > n.

📐 Formule - Le nombre de combinaisons avec répétition autorisée de k éléments parmi n est $C'_{n,k}=\binom{n+k-1}{k}$.

💡 Astuce mémo

Arrangement : l’ordre compte ; combinaison : l’ordre ne compte pas.

📖 5. Permutations et répétitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Permutation : Bijection de E dans lui-même.
• Permutation avec répétition : Permutation qui contient chaque élément xᵢ exactement kᵢ fois, avec un total de k = k₁ + ⋯ + kₙ éléments.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est $P_n=n!$.

📐 Formule - Le nombre de permutations avec répétition de type (k₁, …, kₙ) est $\frac{(k_1+\cdots+k_n)!}{k_1!\cdots k_n!}$.

Compléments

📐 Formule - Le nombre d’anagrammes du mot PARISIEN est $\frac{8!}{2}=20\,160$.

📖 6. Cycle de modélisation mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Modélisation mathématique : Lien entre une situation réelle et son étude dans le monde abstrait des mathématiques.

★ À maîtriser

• 🔄 Le cycle de modélisation suit les étapes suivantes (Blum et Leiß, 2006) :

  1. Analyser la situation réelle pour construire un modèle de la situation
  2. Simplifier, structurer et préciser celui-ci pour établir un problème et un modèle réel
  3. Traduire le modèle réel en termes mathématiques
  4. Appliquer les méthodes mathématiques pour obtenir des résultats
  5. Interpréter ces résultats dans le modèle réel
  6. Vérifier si la solution est raisonnable et appropriée, puis valider le modèle ou reprendre le processus avec un modèle

• Le cycle simplifié de modélisation distingue le monde réel du monde mathématique, relie la situation réelle au modèle, applique un travail mathématique, puis confronte l’interprétation des résultats aux observations pour valider ou invalider le modèle.

Compléments

• Une fois validé, un modèle est décrit précisément afin de pouvoir être communiqué.

💡 Astuce mémo

Situation réelle → modèle réel → modèle mathématique → résultats → interprétation → validation.

📖 7. Univers et événements aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience dont le résultat reste imprévisible lorsqu’elle est répétée dans des conditions apparemment identiques, car il dépend du hasard ou de facteurs non déterminables ou non mesurables a priori.
• Univers : L’ensemble des codages mathématiques de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement : Dans le modèle mathématique, une partie de l’univers Ω contenant les codages des résultats pour lesquels l’événement réel est réalisé.
• Système complet : Une famille d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion est Ω.

📝 Points essentiels

📌 Un événement élémentaire correspond à un seul résultat et est représenté par un singleton {ω}, tandis que Ω est l’événement certain et ∅ l’événement impossible.

• Dans l’expérience de la cible, l’univers est le carré Ω = {(x,y) ∈ ℝ² | −1 ≤ x ≤ 1 et −1 ≤ y ≤ 1}, et les événements considérés sont les parties mesurables de Ω.

• Le complémentaire d’un événement A est réalisé exactement lorsque A ne l’est pas, A ∪ B lorsque A ou B est réalisé, A ∩ B lorsque les deux le sont, et A \ B lorsque A est réalisé mais pas B.

• Dans un univers fini Ω, les événements élémentaires {ω}, pour ω ∈ Ω, forment un système complet d’événements.

💡 Astuce mémo

Le résultat appartient au réel ; son codage appartient à Ω

📖 8. Tribus et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Tribu : Une famille de parties de Ω qui contient Ω, est stable par complémentaire et est stable par union dénombrable.
• Probabilité : Une application P : T → [0,1] telle que P(Ω)=1 et que la probabilité d’une union dénombrable d’événements deux à deux incompatibles soit la somme de leurs probabilités.
• Probabilité uniforme : Sur un univers fini Ω, la probabilité uniforme attribue à chaque événement élémentaire la probabilité $1/|Ω|$, et vérifie pour tout événement A que $P(A)=|A|/|Ω|$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une probabilité P et des événements A, B, on a $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

• L’ensemble P(Ω) de toutes les parties de Ω est une tribu, utilisée dans le cours pour les univers finis ou dénombrables.

📐 Formule - Pour un système complet fini (A_i)_{1≤i≤n}, on a $\sum_{i=1}^{n}P(A_i)=1$.

• Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

• Pour une cible carrée de côté 2 munie de la probabilité proportionnelle à l’aire, la probabilité d’atteindre le disque unité centré en son centre est π/4, soit environ 0,785.

• Dans un univers non dénombrable, les événements élémentaires peuvent avoir une probabilité nulle, comme les points d’une cible dont l’aire est nulle.

📖 9. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(F) ≠ 0, la probabilité de E sachant F est $P(E\mid F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des événements E et F, la formule des probabilités totales à deux cas est $P(E)=P(E\mid F)P(F)+P(E\mid \overline{F})P(\overline{F})$.

📐 Formule - Si F_1,…,F_n forment une partition de Ω, alors $P(E)=\sum_{i=1}^{n}P(E\mid F_i)P(F_i)$.

Compléments

📐 Formule - Pour des événements E et F de probabilités non nulles, le théorème de Bayes donne $P(E\mid F)=\frac{P(E)}{P(F)}P(F\mid E)$.

• Dans une urne contenant 5 boules noires et 10 blanches, tirées deux à deux sans remise, la probabilité que la deuxième boule soit blanche vaut 2/3.

💡 Astuce mémo

Restreindre à F → recalculer la chance de E

📖 10. Produits et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité produit : Pour deux espaces probabilisés finis, la probabilité produit sur Ω₁ × Ω₂ attribue au singleton {(a,b)} la probabilité $P_1(\{a\})P_2(\{b\})$.
• Événement propre : Un événement E est propre à Ω_i s’il impose une contrainte seulement sur la i-ème coordonnée, sous la forme E=Ω_1×…×Ω_{i−1}×A_i×Ω_{i+1}×…×Ω_n.

★ À maîtriser

• Dans un espace probabilisé produit, des événements chacun propres à une coordonnée distincte sont deux à deux indépendants.

Compléments

📐 Formule - Pour un pavé E=A_1×…×A_n dans un espace produit, sa probabilité vaut $P(E)=\prod_{i=1}^{n}P_i(A_i)$.

• Pour 30 dates choisies indépendamment et uniformément parmi 365 jours, la probabilité d’un 30-uplet précis est $1/365^{30}$.

📖 11. Choix du modèle des anniversaires

★ À maîtriser

📌 Pour modéliser les anniversaires de k personnes, l’univers avec ordre est l’ensemble des k-uplets de dates entre 1 et 365, tandis que l’univers sans ordre retient les listes rangées selon d_1≤…≤d_k.

📌 Le modèle sans ordre muni de la probabilité uniforme ne convient pas à l’hypothèse de choix indépendants, car les événements décrivant les dates des personnes n’y sont pas indépendants.

Compléments

• Pour k=23 et n=365, la probabilité d’au moins deux anniversaires identiques vaut environ 0,507 dans le modèle avec ordre et 0,750 dans le modèle sans ordre uniforme.

📐 Formule - Dans le modèle sans ordre uniforme, la probabilité qu’au moins deux anniversaires coïncident est $P(E'_k)=1-\prod_{i=1}^{k-1}\frac{n-i}{n+i}$.

• Pour respecter l’indépendance des choix, le modèle avec ordre muni de la probabilité uniforme est adapté, tandis qu’un modèle sans ordre devrait utiliser une probabilité non uniforme.

💡 Astuce mémo

Avec ordre : dates indépendantes ; sans ordre uniforme : pas d’indépendance

📖 12. Validation du modèle des anniversaires

★ À maîtriser

• Le modèle ordonné uniforme des dates d’anniversaire respecte leur indépendance grâce à la structure d’espace probabilisé produit, propriété générale énoncée par la Proposition 50.

• Pour des groupes de 23 personnes, le modèle prévoit environ 50,7 % de groupes avec des anniversaires partagés, tandis que les études des trois coupes du monde observées trouvent 50 %.

Compléments

• Les études portent sur les équipes qualifiées des Coupes du monde masculine de 2010 et 2014 et féminine de 2023, soit 96 équipes de 23 joueurs ou joueuses au total.

• Les échantillons de joueurs montrent une fréquence plus élevée de naissances dans la première moitié de l’année, ce qui limite leur représentativité de la population générale.

📖 13. Limites du modèle des anniversaires

★ À maîtriser

• Le modèle initial des anniversaires ignore les années bissextiles, où une date supplémentaire aurait quatre fois moins de chances d’être attribuée que les autres dates.

📌 La probabilité demandée par le problème n’existe pas indépendamment du modèle mathématique : différents raffinements compatibles avec la réalité peuvent attribuer des probabilités différentes.

Compléments

• Les naissances ne sont pas uniformément réparties selon les jours de la semaine ni selon les mois : il y a moins de naissances le week-end et un pic en juillet actuellement.

• Jusqu’à la Seconde Guerre mondiale, le pic des naissances se situait entre février et avril.

• Si l’on suppose qu’il n’y a aucune naissance le dimanche, il reste environ 312 jours possibles et la probabilité de dates partagées dépasse un demi à partir de 22 personnes.

• Une formulation empirique possible consiste à chercher le plus petit k pour lequel, parmi un nombre suffisamment grand de groupes de k personnes choisies au hasard, plus de la moitié contiennent au moins deux personnes ayant la même date d’anniversaire.

💡 Astuce mémo

Dates non uniformes et âges variables → modèle plus complexe

📖 14. Variables aléatoires et lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω, T, P) est une application X : Ω → ℝ telle que, pour toute partie mesurable A de ℝ, l’image réciproque X⁻¹(A) appartient à T.
• Variable discrète : Une variable aléatoire X est discrète si son ensemble de valeurs X(Ω) est fini ou dénombrable ; elle est finie si X(Ω) est fini.

📝 Points essentiels

• Si g : ℝ → ℝ est mesurable et X est une variable aléatoire, alors g∘X est une variable aléatoire ; en particulier, aX+b l’est pour tous réels a et b.

• Si X et Y sont des variables aléatoires et g : ℝ² → ℝ est continue, alors g(X,Y) est une variable aléatoire, notamment X+Y et XY.

• Pour deux dés à six faces, la somme des résultats est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs de 2 à 12.

📖 15. Fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est la fonction qui associe à tout réel x la probabilité P(X=x).
• Fonction de répartition : La fonction de répartition de X est la fonction FX définie par FX(x)=P(X≤x) pour tout réel x.

★ À maîtriser

• La fonction de répartition est croissante, tend vers 0 en −∞ et vers 1 en +∞, et elle est continue à droite.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel a, la probabilité ponctuelle vaut $P(X=a)=F_X(a)-\lim_{x\to a^-}F_X(x)$.

• Si X est discrète et prend les valeurs xi, alors les probabilités P(X=xi) ont une somme égale à 1 et FX(x)=∑_{xi≤x}P(X=xi), de sorte que FX est une fonction en escalier.

📖 16. Variables aléatoires continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable continue : Une variable aléatoire X est continue, ou à densité, s’il existe une fonction continue par morceaux fX telle que, pour tout réel x, $F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt$.
• Intégrabilité sur ℝ : Une fonction continue par morceaux est intégrable sur ℝ lorsque ses intégrales impropres convergent en −∞ et en +∞.

★ À maîtriser

• Une densité de probabilité f est intégrable sur ℝ, vérifie f(t)≥0 pour tout t et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt=1$.

Compléments

• Pour une variable aléatoire continue, FX est continue et, aux points où fX est continue, FX est dérivable avec $F'_X(x)=f_X(x)$.

📐 Formule - Pour une variable aléatoire continue et a≤b, $P(a\le X\le b)=P(a<X<b)=F_X(b)-F_X(a)=\int_a^b f_X(t)\,dt$.

📖 17. Caractéristiques des variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantile : Le quantile d’ordre α, pour 0<α<1, est le plus petit réel x tel que FX(x)≥α ; pour α=1/2, il s’agit de la médiane.
• Espérance : L’espérance d’une variable discrète est $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}P(X=x)x$ et celle d’une variable continue de densité fX est $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(t)t\,dt$, lorsque la somme ou l’intégrale converge.
• Variance : La variance de X, lorsque les espérances requises existent, est $\operatorname{Var}(X)=E((X-E(X))^2)$.
• Mode : Le mode d’une variable aléatoire discrète est une valeur maximisant P(X=x), tandis que celui d’une variable continue est une valeur maximisant sa densité fX.
• Écart-type : L’écart-type de X est $\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ lorsque sa variance existe.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Lorsque X admet une espérance et une variance, $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2$.

• Pour la somme des résultats de deux dés équilibrés à six faces, l’espérance vaut 7 et la variance vaut 35/6.

📖 18. Opérations et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Variables indépendantes : Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si, pour tous réels a et b, $P((X\le a)\cap(Y\le b))=P(X\le a)P(Y\le b)$.

★ À maîtriser

• Si X1,…,Xn admettent une espérance et a1,…,an sont réels, alors leur combinaison linéaire admet une espérance et $E\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i\right)=\sum_{i=1}^n a_iE(X_i)$.

📐 Formule - Si X et Y sont indépendantes et admettent une espérance, alors $E(XY)=E(X)E(Y)$.

📐 Formule - Si X et Y sont indépendantes et admettent une variance, alors $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$.

Compléments

📐 Formule - Si X admet une variance, alors $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$ pour tous réels a et b.

• Pour deux variables aléatoires discrètes, l’indépendance équivaut à $P((X=a)\cap(Y=b))=P(X=a)P(Y=b)$ pour tous réels a et b.

📊 Tableaux de synthèse

Modèles des anniversaires