Fiche de révision : Proportionnalité et outils mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Reconnaître la proportionnalité
2. Calculer avec la proportionnalité
3. Pourcentages et variations
4. Fonctions linéaires
5. Statistiques descriptives
6. Diagrammes statistiques
7. Théorème de Pythagore
8. Réciproque et contraposée

📖 1. Reconnaître la proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Égalité de deux rapports fractionnaires.
• Grandeurs proportionnelles : Deux grandeurs x et y sont proportionnelles lorsqu’il existe un nombre réel constant non nul a tel que $y=ax$.

★ À maîtriser

📌 Dans un tableau de proportionnalité, chaque nombre d’une ligne s’obtient en multipliant le nombre correspondant de l’autre ligne par un même coefficient.

📌 Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l’origine d’un repère orthogonal.

Compléments

• Dans le tableau des macarons, les rapports prix par nombre de macarons valent tous 1,4, donc le prix est proportionnel au nombre de macarons et un macaron coûte 1,40 €.

💡 Astuce mémo

Tableau : rapports constants ; graphique : droite par l’origine

📖 2. Calculer avec la proportionnalité

★ À maîtriser

• Les méthodes de complétion sont:
  • les propriétés du tableau
  • le retour à l’unité
  • le coefficient de proportionnalité
  • le produit en croix

📐 Formule — Dans une situation de proportionnalité, le coefficient permet de passer d’une grandeur à l’autre selon $y=ax$.

Compléments

• À l’échelle 1/50 000, 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité, soit 500 m ou 0,5 km.

• Pour 60 g de pommes valant 31,2 calories, le coefficient de proportionnalité est 0,52 et 250 g valent 130 calories.

💡 Astuce mémo

Unité → coefficient → produit en croix

📖 3. Pourcentages et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Proportion rapportée à 100.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour calculer a % d’un nombre x, on utilise $\frac{a}{100}\times x=\frac{ax}{100}$.

📐 Formule — Augmenter x de a % revient à calculer $x\left(1+\frac{a}{100}\right)$, tandis que diminuer x de a % revient à calculer $x\left(1-\frac{a}{100}\right)$.

• Pour retrouver un prix avant une réduction de 65 %, on constate que le prix final représente 35 % du prix initial puis on utilise la proportionnalité ou une équation.

Compléments

• Une augmentation de 5 % d’un loyer de 652 € donne un nouveau loyer de 684,60 €.

💡 Astuce mémo

Pourcentage appliqué → variation du nombre

📖 4. Fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Associe à chaque nombre x son image ax, où a est un nombre fixé, et s’écrit $f(x)=ax$.
• Coefficient directeur : Dans une fonction linéaire $f(x)=ax$, a représente la pente de la droite.

★ À maîtriser

📌 La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine.

📌 Si a est positif, la fonction linéaire est croissante ; si a est négatif, elle est décroissante.

• Pour calculer l’image d’un nombre, on remplace x par ce nombre dans l’expression de la fonction puis on effectue le calcul.

Compléments

📐 Formule — Pour un point de la droite d’une fonction linéaire, le coefficient directeur vérifie $a=\frac{f(x)}{x}$ lorsque x est non nul.

💡 Astuce mémo

Une droite qui passe par l’origine, avec une pente a

📖 5. Statistiques descriptives

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique : Ensemble des valeurs prises par le caractère étudié.
• Fréquence : Quotient de son effectif par l’effectif total.
• Moyenne : Quotient de la somme des données par l’effectif total.
• Médiane : Nombre qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
• Quartiles : Le premier quartile Q1 est la valeur au-dessous de laquelle se situent au moins 25 % des effectifs, et le troisième quartile Q3 est celle au-dessous de laquelle se situent au moins 75 % des effectifs.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’étendue d’une série est $e=\mathrm{MAX}-\mathrm{MIN}$ et l’écart interquartile est $ei=Q3-Q1$.

💡 Astuce mémo

Position : où se situent les données ; dispersion : à quel point elles s’étalent

📖 6. Diagrammes statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Un histogramme regroupe les données par classes représentées par des rectangles dont l’aire est proportionnelle à l’effectif.
• Diagramme circulaire : Représentation graphique des données par un disque partagé en secteurs dont les angles sont proportionnels aux effectifs.

★ À maîtriser

📌 Dans un diagramme en bâtons, les bâtons ont la même largeur et leur hauteur est proportionnelle aux effectifs ou aux fréquences ; ils ne se touchent pas.

Compléments

• Pour une classe de 24 élèves, chaque élève correspond à 15 degrés dans un diagramme circulaire, car $360\div24=15$.

💡 Astuce mémo

Bâtons pour les valeurs, histogramme pour les classes, secteurs pour les parts

📖 7. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, si l’hypoténuse est c et les deux autres côtés sont a et b, alors $c^2=a^2+b^2$.

• Pour calculer une longueur avec Pythagore, on identifie l’hypoténuse, écrit l’égalité des carrés, remplace les longueurs connues, isole le carré recherché puis prend la racine carrée.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse² = côté² + côté²

📖 8. Réciproque et contraposée

★ À maîtriser

📌 Si, dans un triangle, la somme des carrés des deux petits côtés n’est pas égale au carré du côté le plus long, alors le triangle n’est pas rectangle.

Compléments

• Dans un triangle quelconque, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double de leur produit multiplié par le cosinus de l’angle opposé.

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés : rectangle ; inégalité : non rectangle

📊 Tableaux de synthèse

Indicateurs statistiques