QCM : Réciproque du théorème de Thalès (9 questions)

Question 1

1. Pour démontrer que les droites AB et DE sont parallèles dans la configuration décrite, quels triangles faut-il comparer, puisque le segment AB appartient au premier et le segment DE au second ?

Les triangles ABC et CDE

Les triangles ABC et BCD

Les triangles ACE et CDE

Les triangles CDE et ABC, en attribuant AB à CDE

Explication

Le triangle ABC contient le segment AB et le triangle CDE contient le segment DE : ce sont donc les deux triangles à comparer. Associer AB à CDE inverse les triangles, tandis que BCD et ACE ne sont pas les triangles contenant respectivement les deux segments visés.

Answer

Les triangles ABC et CDE

Question 2

2. Pour vérifier la proportionnalité des côtés des triangles ABC et CDE à partir de leur sommet commun C, quels rapports de côtés correspondants faut-il comparer ?

\frac{CA}{CE}

et

\frac{CB}{CD}

\frac{CA}{CD}

et

\frac{CB}{CE}

\frac{CE}{CA}

et

\frac{CD}{CB}

\frac{CA}{CE}

et

\frac{CB}{CE}

Explication

Les côtés correspondants issus du sommet commun C sont CA avec CE, et CB avec CD ; les rapports comparés sont donc $\frac{CA}{CE}$ et $\frac{CB}{CD}$ . Les autres propositions croisent les correspondances, inversent le sens des rapports ou réutilisent CE pour les deux côtés.

Answer

$$\frac{CA}{CE}$$ et $$\frac{CB}{CD}$$

Question 3

3. Sur deux droites sécantes en C, les points B et D sont situés sur une même droite et A et E sur l’autre. Quel ordre des points permet de respecter la configuration décrite ?

D, C, B et A, C, E

B, C, D et A, C, E

C, B, D et C, A, E

B, C, D et E, C, A

Explication

Dans la configuration, C se trouve entre B et D, ainsi qu’entre A et E : les ordres sont B, C, D et A, C, E. Les propositions erronées inversent l’ordre sur une droite ou placent C à une extrémité.

Answer

B, C, D et A, C, E

Question 4

4. Dans une configuration, on a $CA=3$ , et $CE$ est composé de deux segments de longueurs $2,5$ et $1,5$ . Quelle est la valeur du rapport $\frac{CA}{CE}$ ?

\frac{3}{4}

\frac{3}{2,5}

\frac{7}{4}

\frac{4}{3}

Explication

La longueur totale de CE vaut $2,5+1,5=4$ , donc $\frac{CA}{CE}=\frac{3}{4}$ . Le rapport $\frac{3}{2,5}$ oublie le second segment, $\frac{7}{4}$ additionne CA à CE, et $\frac{4}{3}$ inverse le rapport.

Answer

$$\frac{3}{4}$$

Question 5

5. On sait que $CB=4,5$ et que $CD$ comprend deux segments de longueurs $4$ et $2$ . Quel rapport obtient-on en calculant $\frac{CB}{CD}$ ?

\frac{10,5}{6}

\frac{4,5}{6}

\frac{6}{4,5}

\frac{4,5}{4}

Explication

La longueur de CD est $4+2=6$ , d’où $\frac{CB}{CD}=\frac{4,5}{6}$ . $\frac{4,5}{4}$ omet le segment de longueur 2, $\frac{10,5}{6}$ additionne CB à CD, et $\frac{6}{4,5}$ inverse le rapport.

Answer

$$\frac{4,5}{6}$$

Question 6

6. Pour vérifier si deux rapports sont égaux, un élève veut éviter d’arrondir leurs valeurs décimales. Quelle méthode peut-il utiliser ?

Additionner les numérateurs et dénominateurs

Réduire un seul rapport

Comparer les produits en croix

Comparer les numérateurs seuls

Explication

L’égalité des produits en croix permet de comparer exactement deux rapports sans approximation décimale. Additionner les termes ne teste pas l’égalité des rapports, comparer les seuls numérateurs ignore les dénominateurs, et réduire un seul rapport ne permet pas de comparer les deux.

Answer

Comparer les produits en croix

Question 7

7. Dans une situation de proportionnalité, un élève transforme $\frac{4,5}{6}$ en une fraction équivalente sans virgule, puis la simplifie. À quelle conclusion arrive-t-il en la comparant à $\frac{3}{4}$ ?

Les rapports sont différents, car

\frac{4,5}{6}=\frac{9}{12}

Les rapports sont différents, car

\frac{4,5}{6}=\frac{4}{3}

Les rapports sont égaux, car

\frac{4,5}{6}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}

Les rapports sont égaux, car

\frac{4,5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{4}

Explication

En multipliant le numérateur et le dénominateur de $\frac{4,5}{6}$ par 2, on obtient $\frac{9}{12}$ , puis en divisant les deux termes par 3, $\frac{3}{4}$ : les rapports sont égaux. $\frac{9}{12}$ n’est pas une forme différente de $\frac{3}{4}$ , $\frac{9}{6}$ ne conserve pas l’équivalence, et $\frac{4}{3}$ est l’inverse.

Answer

Les rapports sont égaux, car $$\frac{4,5}{6}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$

Question 8

8. Dans une configuration où les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre, on sait que $\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}$ . Quelle conclusion la réciproque du théorème de Thalès autorise-t-elle ?

Les droites AC et BD sont parallèles.

Les droites AB et DE sont parallèles.

Les triangles ACE et BCD sont directement semblables.

Les droites AB et DE sont perpendiculaires.

Explication

Des côtés correspondants proportionnels, avec les points alignés dans le même ordre, permettent d’appliquer la réciproque de Thalès et de conclure que les droites portant les côtés opposés sont parallèles. La similitude directe ne formule pas cette conclusion, la perpendicularité ne découle pas des rapports, et le parallélisme de AC et BD concerne d’autres droites.

Answer

Les droites AB et DE sont parallèles.

Question 9

9. Dans une figure, les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre et les longueurs donnent $\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}$ . Quelle conclusion faut-il tirer pour les droites AB et DE ?

Elles sont perpendiculaires.

Elles sont parallèles.

Elles sont de même longueur.

Elles se coupent en C.

Explication

L’égalité des rapports de côtés correspondants, avec l’alignement dans le même ordre, établit la proportionnalité nécessaire à la réciproque de Thalès et permet de conclure qu'AB et DE sont parallèles. L’égalité des rapports ne signifie pas que les longueurs AB et DE sont égales, n’implique pas la perpendicularité et ne fait pas de C leur point d’intersection.

Answer

Elles sont parallèles.

QCM : Réciproque du théorème de Thalès (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour démontrer que les droites AB et DE sont parallèles dans la configuration décrite, quels triangles faut-il comparer, puisque le segment AB appartient au premier et le segment DE au second ?

2. Pour vérifier la proportionnalité des côtés des triangles ABC et CDE à partir de leur sommet commun C, quels rapports de côtés correspondants faut-il comparer ?

3. Sur deux droites sécantes en C, les points B et D sont situés sur une même droite et A et E sur l’autre. Quel ordre des points permet de respecter la configuration décrite ?

4. Dans une configuration, on a $CA=3$ , et $CE$ est composé de deux segments de longueurs $2,5$ et $1,5$ . Quelle est la valeur du rapport $\frac{CA}{CE}$ ?

5. On sait que $CB=4,5$ et que $CD$ comprend deux segments de longueurs $4$ et $2$ . Quel rapport obtient-on en calculant $\frac{CB}{CD}$ ?

6. Pour vérifier si deux rapports sont égaux, un élève veut éviter d’arrondir leurs valeurs décimales. Quelle méthode peut-il utiliser ?

7. Dans une situation de proportionnalité, un élève transforme $\frac{4,5}{6}$ en une fraction équivalente sans virgule, puis la simplifie. À quelle conclusion arrive-t-il en la comparant à $\frac{3}{4}$ ?

8. Dans une configuration où les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre, on sait que $\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}$ . Quelle conclusion la réciproque du théorème de Thalès autorise-t-elle ?

9. Dans une figure, les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre et les longueurs donnent $\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}$ . Quelle conclusion faut-il tirer pour les droites AB et DE ?

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QCM : Réciproque du théorème de Thalès (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour démontrer que les droites AB et DE sont parallèles dans la configuration décrite, quels triangles faut-il comparer, puisque le segment AB appartient au premier et le segment DE au second ?

2. Pour vérifier la proportionnalité des côtés des triangles ABC et CDE à partir de leur sommet commun C, quels rapports de côtés correspondants faut-il comparer ?

3. Sur deux droites sécantes en C, les points B et D sont situés sur une même droite et A et E sur l’autre. Quel ordre des points permet de respecter la configuration décrite ?

4. Dans une configuration, on a CA=3CA=3CA=3, et CECECE est composé de deux segments de longueurs 2,52,52,5 et 1,51,51,5. Quelle est la valeur du rapport CACE\frac{CA}{CE}CECA​ ?

5. On sait que CB=4,5CB=4,5CB=4,5 et que CDCDCD comprend deux segments de longueurs 444 et 222. Quel rapport obtient-on en calculant CBCD\frac{CB}{CD}CDCB​ ?

6. Pour vérifier si deux rapports sont égaux, un élève veut éviter d’arrondir leurs valeurs décimales. Quelle méthode peut-il utiliser ?

7. Dans une situation de proportionnalité, un élève transforme 4,56\frac{4,5}{6}64,5​ en une fraction équivalente sans virgule, puis la simplifie. À quelle conclusion arrive-t-il en la comparant à 34\frac{3}{4}43​ ?

8. Dans une configuration où les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre, on sait que CACE=CBCD\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}CECA​=CDCB​. Quelle conclusion la réciproque du théorème de Thalès autorise-t-elle ?

9. Dans une figure, les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre et les longueurs donnent CACE=CBCD\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}CECA​=CDCB​. Quelle conclusion faut-il tirer pour les droites AB et DE ?

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5. On sait que $CB=4,5$ et que $CD$ comprend deux segments de longueurs $4$ et $2$ . Quel rapport obtient-on en calculant $\frac{CB}{CD}$ ?

7. Dans une situation de proportionnalité, un élève transforme $\frac{4,5}{6}$ en une fraction équivalente sans virgule, puis la simplifie. À quelle conclusion arrive-t-il en la comparant à $\frac{3}{4}$ ?

8. Dans une configuration où les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre, on sait que $\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}$ . Quelle conclusion la réciproque du théorème de Thalès autorise-t-elle ?

9. Dans une figure, les points A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre et les longueurs donnent $\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}$ . Quelle conclusion faut-il tirer pour les droites AB et DE ?